数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$，公差$1$の等差数列とする．また，数列$\{a_n\}$を次の式で定める．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．

$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．

$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．

$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．

$a$と$d$を整数とする．数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．

初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．

初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．

初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{BR}$，$\mathrm{CP}$は$1$点で交わり，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}={60}^\circ$とする．このとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}$を求めよ．
(2)複素数$z$の方程式$z^4=-8-8 \sqrt{3}i$の解をすべて求めよ．
(3)初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を，$n$を用いた式で表せ．

等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする．
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ．
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて，
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする．曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り，$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し，曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ．