タグ「等分」の検索結果

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愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2016年 第4問
$xy$平面において,点$(0,\ 2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする.また,放物線$y=ax^2$を$P$とする.ただし,$a$は正の実数とする.

(1)円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき,$a$の値を求めよ.
(2)$a$の値を$(1)$で求めたものとする.このとき,円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち,点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)$を内部に含む図形の面積を求めよ.
福岡教育大学 国立 福岡教育大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ.
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ.
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす.このとき,正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち,正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ.
大阪大学 国立 大阪大学 2016年 第5問
円上の$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び,円周を$5$等分している.$5$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき,$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき,$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする.$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ.
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし,$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ.
(図は省略)
学習院大学 私立 学習院大学 2016年 第4問
放物線$C:y=4-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を$D$とし,$D$の面積を$S$とする.

(1)$S$を求めよ.
(2)点$(-2,\ 0)$を通り傾き$\displaystyle \frac{4}{5}$の直線と$C$とで囲まれた部分の面積を$T$とする.$T$と$\displaystyle \frac{S}{2}$の大小を判定せよ.
(3)傾きが$\displaystyle \frac{4}{5}$であり$D$の面積を$2$等分する直線を$L$とする.$L$の方程式を求めよ.
久留米大学 私立 久留米大学 2016年 第4問
座標平面上で,関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える.$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して,曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$,$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする.

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる.
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり,$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる.
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる.ただし,$n$は正の整数とする.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
北里大学 私立 北里大学 2016年 第2問
次の文中の$[ア]$~$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える.

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である.
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は,これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる.
また,$\ell$が$S$を等分するとき,$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である.
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と,直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき,$k=[ク]$であり,$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる.このとき,$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である.
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である.
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき,$k=[ス]$であり,$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる.このとき,$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である.
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから,曲線$C_3$と,直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は,$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である.
東洋大学 私立 東洋大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように,定数$k$の範囲を定めよ.
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{BC}=6$,$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある.$\cos A$の値を求めよ.$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると,三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある.辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$,直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ.また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ.
東京学芸大学 国立 東京学芸大学 2015年 第2問
$n$を$2$以上の整数とする.曲線$\displaystyle y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$,直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$n-1$本の曲線$y=a_k \cos x (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1)$によって$n$等分するとき,下の問いに答えよ.ただし,$0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}$とする.

(1)$n=2$のとき,$a_1$の値を求めよ.
(2)$a_k$を$n$と$k$で表せ.
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