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私立 久留米大学 2016年 第6問平面上に三角形$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，$9 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．三角形$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1$，$S_2$，$S_3$とするとき，面積比を求めると$S_1:S_2:S_3=[$17$]$となる．
私立 早稲田大学 2016年 第6問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_x^{x+1} (1+|t|)(1+|t-1|) \, dt \]
と定義する．
(1)$x \leqq -1$のとき，
\[ f(x)=[ネ]x^2+[ノ]x+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
である．
(2)$x$が実数全体を動くとき，関数$f(x)$は，$x=[フ]$のとき最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
\[ f(x)=\int_x^{x+1} (1+|t|)(1+|t-1|) \, dt \]
と定義する．
(1)$x \leqq -1$のとき，
\[ f(x)=[ネ]x^2+[ノ]x+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
である．
(2)$x$が実数全体を動くとき，関数$f(x)$は，$x=[フ]$のとき最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ア]$～$[エ]$に数を入れよ．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
私立 山口東京理科大学 2016年 第6問次の条件によって定められる数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$がある．
$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=a_n+4b_n,\quad b_{n+1}=a_n-2b_n$
(1)数列$\{a_n+b_n\},\ \{a_n-4b_n\}$の一般項について，
$a_n+b_n=[ヘ] \cdot {[ホ]}^{n-1},$
$a_n-4b_n=-[マ] {(-[ミ])}^{n-1}$
が成り立つ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項について，
\[ a_n=\frac{[ム][メ] \cdot {[モ]}^{n-1}-[ヤ] \cdot {(-[ユ])}^{n-1}}{[ヨ]} \]
が成り立つ．
(3)数列$\{a_n\}$の漸化式について，
\[ a_{n+2}+[ラ]a_{n+1}-[リ]a_n=0 \]
が成り立つ．
$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=a_n+4b_n,\quad b_{n+1}=a_n-2b_n$
(1)数列$\{a_n+b_n\},\ \{a_n-4b_n\}$の一般項について，
$a_n+b_n=[ヘ] \cdot {[ホ]}^{n-1},$
$a_n-4b_n=-[マ] {(-[ミ])}^{n-1}$
が成り立つ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項について，
\[ a_n=\frac{[ム][メ] \cdot {[モ]}^{n-1}-[ヤ] \cdot {(-[ユ])}^{n-1}}{[ヨ]} \]
が成り立つ．
(3)数列$\{a_n\}$の漸化式について，
\[ a_{n+2}+[ラ]a_{n+1}-[リ]a_n=0 \]
が成り立つ．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる．関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる．
(2)箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$，$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる．関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる．
(2)箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$，$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である．
私立 明治大学 2016年 第1問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
$x$の$2$次方程式$x^2+3ax+2a^2-a+3=0$が虚数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ ]<a<[ ]$である．
私立 明治大学 2016年 第2問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
ある種の電磁波は遮へい板を$1$枚通過するごとに電磁波の強さが$\displaystyle \frac{4}{5}$になる．この電磁波の強さを$\displaystyle \frac{1}{30}$以下にするためには，遮へい板が最低$[ ]$枚必要となる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
ある種の電磁波は遮へい板を$1$枚通過するごとに電磁波の強さが$\displaystyle \frac{4}{5}$になる．この電磁波の強さを$\displaystyle \frac{1}{30}$以下にするためには，遮へい板が最低$[ ]$枚必要となる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
私立 明治大学 2016年 第3問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[ ] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率である．
半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[ ] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率である．
私立 明治大学 2016年 第4問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
点$(4,\ 2,\ 7)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 4)$に平行な直線を$\ell$，点$(2,\ 12,\ -5)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(1,\ 3,\ -3)$に平行な直線を$m$とし，直線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$，直線$m$上の点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が直線$\ell$および直線$m$と垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[ ]$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$[ ]$である．
点$(4,\ 2,\ 7)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 4)$に平行な直線を$\ell$，点$(2,\ 12,\ -5)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(1,\ 3,\ -3)$に平行な直線を$m$とし，直線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$，直線$m$上の点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が直線$\ell$および直線$m$と垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[ ]$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$[ ]$である．
私立 明治大学 2016年 第6問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である．また，$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\cos A=[ ]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である．
$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{6}$である．また，$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\cos A=[ ]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さは$[ ]$である．
(3)線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ ]$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$[ ]$である．