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私立 星薬科大学 2016年 第3問$i$を虚数単位，$k$を実数とするとき，$3$次方程式$\displaystyle 2x^3-(6k+3i)x^2-\frac{4}{3}x-9+2i=0$が$2$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は$\displaystyle k=-\frac{[$24$]}{[$25$]}$であり，その$2$つの実数解は$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$である．
私立 星薬科大学 2016年 第4問次の問に答えよ．
(1)$3^{2x}=7$のとき，$\displaystyle \frac{3^{3x}+3^{-3x}}{{(3^x+3^{-x})}^3}=\frac{[$28$][$29$]}{[$30$][$31$]}$である．
(2)$\displaystyle 2 \log_3 441-9 \log_3 \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log_3 \frac{27}{343}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{-[$34$]+\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(1)$3^{2x}=7$のとき，$\displaystyle \frac{3^{3x}+3^{-3x}}{{(3^x+3^{-x})}^3}=\frac{[$28$][$29$]}{[$30$][$31$]}$である．
(2)$\displaystyle 2 \log_3 441-9 \log_3 \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log_3 \frac{27}{343}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{-[$34$]+\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
私立 星薬科大学 2016年 第6問$\overrightarrow{a}=(1,\ 3,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ -1,\ 1)$，$t$を実数として次の問に答えよ．
(1)$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=\frac{[$50$]}{[$51$]}$で最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[$52$][$53$]}}{[$54$]}$をとる．
(2)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${45}^\circ$のとき，$\displaystyle t=\frac{[$55$]+\sqrt{[$56$][$57$]}}{[$58$]}$である．
(1)$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=\frac{[$50$]}{[$51$]}$で最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[$52$][$53$]}}{[$54$]}$をとる．
(2)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${45}^\circ$のとき，$\displaystyle t=\frac{[$55$]+\sqrt{[$56$][$57$]}}{[$58$]}$である．
私立 東北学院大学 2016年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2x+3y=2$のとき，$x^2 \leqq y \leqq 2x$を満たす$x$の範囲は，
\[ [ア] \leqq x \leqq [イ] \]
である．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて出た目の積$M$が奇数となる確率は$[ウ]$である．また，$M$を$3$で割ったときの余りが$2$となる確率は$[エ]$である．
(1)$2x+3y=2$のとき，$x^2 \leqq y \leqq 2x$を満たす$x$の範囲は，
\[ [ア] \leqq x \leqq [イ] \]
である．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて出た目の積$M$が奇数となる確率は$[ウ]$である．また，$M$を$3$で割ったときの余りが$2$となる確率は$[エ]$である．
私立 西南学院大学 2016年 第1問不等式$x^2-4<x+2$を満たす整数のうち最大のものは，$x=[ア]$である．
私立 西南学院大学 2016年 第2問$x$の方程式$4^x+2^{x+1}-k=0$が，
$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり，
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である．
$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり，
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である．
私立 早稲田大学 2016年 第4問正の定数$a$に対して，$f(x)=ax^3-(2a-1)x^2-(5a+1)x+6(a-1)$とする．関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸とちょうど$2$つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，$x$座標の値が大きい方の点の座標は$([ス],\ 0)$であり，$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$である．また，$f(x)$が極小値をとるのは，$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$のときである．
私立 早稲田大学 2016年 第5問数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．
「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」
(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．
「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」
(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．
私立 久留米大学 2016年 第5問数列$\{a_n\}$が$3(a_{n+1})^2=(a_n)^3$の関係を満たしているとする．ただし，$a_n$は正の実数で，$n$は正の整数とする．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．