「直線」について
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(5ページ目:全2462問中41問~50問を表示)![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{W}(w)$,$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり,
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
四面体$\mathrm{OABC}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし,平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
四面体$\mathrm{OABC}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし,平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
$a$を正の定数とする.$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$と$C_2:y=ax^2$の両方に接する直線の本数を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$(ⅰ)$~$\tokeishi$で定める.
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
複素数平面上を動く点$z$を考える.次の問いに答えよ.
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
(1)等式$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体は虚軸であることを示せ.
(2)点$z$が原点を除いた虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z}$が描く図形は直線から$1$点を除いたものとなる.この図形を描け.
(3)$a$を正の実数とする.点$z$が虚軸上を動くとき,$\displaystyle w=\frac{z+1}{z-a}$が描く図形は円から$1$点を除いたものとなる.この円の中心と半径を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して,平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする.関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.