「直線」について
タグ「直線」の検索結果
(4ページ目:全2462問中31問~40問を表示)![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AO}$との交点を$\mathrm{M}$とする.$5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っているとき,次の問いに答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ.
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ.
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ.
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ.
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ.
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ.
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ.
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし,等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする.ただし,$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
楕円$\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1$を$C$とする.また,座標平面上の点$\mathrm{P}(v,\ w)$を通り,単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha,\ \beta)$を方向ベクトルにもつ直線$\ell$の媒介変数$t$による表示を
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする.直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をもつとする.ただし,$\alpha>0$,$t_1 \leqq t_2$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(3)$\alpha=\beta$のとき,$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ.
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする.直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をもつとする.ただし,$\alpha>0$,$t_1 \leqq t_2$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(3)$\alpha=\beta$のとき,$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ.
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
次の各問に答えよ.
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する.
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する.
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![滋賀大学](./img/univ/shiga.png)
関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について,次の問いに答えよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ.
(2)$a$を$0$以上の定数とし,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$a$を変化させたとき,$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ.
(2)$a$を$0$以上の定数とし,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$a$を変化させたとき,$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする.円$C_1$に外接しながら,半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する.円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし,円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初,$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする.半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし,$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする.$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき,点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする.曲線$C$の概形を図$1$に示す.以下の問いに答えよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ.
(6)曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
(図は省略)
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ.
(6)曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,$t>0$とする.曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$,$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,$t>0$とする.曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$,$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.