「正五角形」について
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国立 宮崎大学 2016年 第2問一辺の長さ$1$の正五角形$\mathrm{OABCD}$について，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{DC}$は平行である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y},\quad \overrightarrow{\mathrm{DC}}=k \overrightarrow{b} \quad (k \text{は実数}) \]
とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$k$の値を求め，$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{x},\quad \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{y},\quad \overrightarrow{\mathrm{DC}}=k \overrightarrow{b} \quad (k \text{は実数}) \]
とするとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$k$の値を求め，$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の内積を求めよ．
国立 琉球大学 2016年 第1問$i$を虚数単位とし，$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{5}+i \sin \frac{2\pi}{5}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$z^5$および$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=z+\frac{1}{z}$とおく．$t^2+t$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．
(4)半径$1$の円に内接する正五角形の$1$辺の長さの$2$乗を求めよ．
(1)$z^5$および$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=z+\frac{1}{z}$とおく．$t^2+t$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．
(4)半径$1$の円に内接する正五角形の$1$辺の長さの$2$乗を求めよ．
国立 大阪大学 2016年 第5問円上の$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び，円周を$5$等分している．$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）
国立 山梨大学 2015年 第3問下の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$，正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
国立 福島大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \cos 3 \theta=4 \cos^3 \theta-3 \cos \theta \]
(2)$\cos {54}^\circ$の値を求めなさい．
(3)頂点と重心との距離が$r$の正五角形の面積を求めなさい．
私立 東北学院大学 2015年 第2問一辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$l=|\overrightarrow{\mathrm{EC}}|$とするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
公立 京都府立大学 2015年 第3問$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2015年 第3問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．$\triangle \mathrm{ABF}$，$\triangle \mathrm{BCG}$，$\triangle \mathrm{CDH}$，$\triangle \mathrm{DEI}$，$\triangle \mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角錐を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$\triangle \mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．
(2)五角錐の体積を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．$\triangle \mathrm{ABF}$，$\triangle \mathrm{BCG}$，$\triangle \mathrm{CDH}$，$\triangle \mathrm{DEI}$，$\triangle \mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角錐を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$\triangle \mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．
(2)五角錐の体積を求めよ．
\end{mawarikomi}
国立 東京海洋大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$とし，線分$\mathrm{AC}$の長さを$k$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．ただし，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{EC}$が平行であることを用いてよい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$の値を求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BAE}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．ただし，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{EC}$が平行であることを用いてよい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$k$を用いて表せ．
(3)$k$の値を求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BAE}$の値を求めよ．