山梨大学
2015年 教育人間科学・生命環境（生命工以外） 第3問
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下の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$，正五角形$P_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．
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(1) 対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2) 対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3) $a_n$を$n$の式で表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(1) 対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2) 対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3) $a_n$を$n$の式で表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
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