極方程式で表された$xy$平面上の曲線$r=1+\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき，$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点，および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ．
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ．
(4)曲線$C$の長さを求めよ．

$2$つの曲線$\displaystyle y=x+2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$と$\displaystyle y=x-2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$をつないでできる曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$の概形を図示しなさい．
(2)$k$を実数とする．曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$，公差$1$の等差数列とする．また，数列$\{a_n\}$を次の式で定める．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．

次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[　]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．

$y=e^{-\pi x} \sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする．

(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．
(2)$n$を自然数とする．$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$(2)$の$S_n$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．

(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．