「極形式」について
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国立 熊本大学 2016年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第3問$0$でない複素数$z$の極形式を$r(\cos \theta+i \sin \theta)$とするとき，次の複素数を極形式で表せ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とし，また$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す．
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
国立 鹿児島大学 2016年 第7問次の各問いに答えよ．
(1)複素数$z,\ w$について，次の関係が成立することを示せ．ただし複素数$\alpha$に対し，$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す．
(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$
(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．次の各問いに答えよ．
(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ．さらにそれらを極形式で表せ．
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ．
(1)複素数$z,\ w$について，次の関係が成立することを示せ．ただし複素数$\alpha$に対し，$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す．
(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$
(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．次の各問いに答えよ．
(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ．さらにそれらを極形式で表せ．
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
私立 立教大学 2016年 第3問次の条件を満たす実数の数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\
b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$i$を虚数単位とし，複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき，$r$と$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$n \geqq 1$に対して，$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき，$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$\theta_n \geqq 0$とする．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ．
(5)$N$を自然数とするとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ．
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\
b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，$i$を虚数単位とし，複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき，$r$と$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$n \geqq 1$に対して，$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき，$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$\theta_n \geqq 0$とする．
(4)$a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ．
(5)$N$を自然数とするとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ．
国立 香川大学 2015年 第4問（新課程履修者）複素数平面上に原点$\mathrm{O}(0)$と点$\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)$がある．ただし，$i$を虚数単位とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0 \leqq \theta <2\pi$とする．
(2)点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(3)虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．
(1)複素数$1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0 \leqq \theta <2\pi$とする．
(2)点$\mathrm{A}$を原点のまわりに$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$だけ回転した点を表す複素数を求めよ．
(3)虚軸上の点$\mathrm{B}(z)$が$\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$を満たすとき，複素数$z$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\mathrm{B}(z)$に対して，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を表す複素数を求めよ．