次の条件を満たす実数の数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える． \[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n-b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \\ b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(a_n+b_n) \!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\displaystyle\frac{\mkakko{}}{\mkakko{}}} \end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] また，$i$を虚数単位とし，複素数$z_n$を$z_n=a_n+b_n i$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $z_{n+1}=\alpha z_n$となる複素数$\alpha$を求めよ．
(2) $(1)$で求めた複素数$\alpha$を極形式で$\alpha=r(\cos \theta+i \sin \theta)$と表すとき，$r$と$\theta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3) $n \geqq 1$に対して，$z_n$を極形式で$z_n=r_n(\cos \theta_n+i \sin \theta_n)$と表すとき，$r_n$と$\theta_n$を$n$を用いて表せ．ただし，$\theta_n \geqq 0$とする．
(4) $a_1+a_2+a_3+a_4$を求めよ．
(5) $N$を自然数とするとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^{4N} a_n$を$N$を用いて表せ．