「極大値」について
タグ「極大値」の検索結果
（2ページ目：全138問中11問～20問を表示）
私立 明治大学 2016年 第3問関数$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+14x+13$について考える．
(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
私立 千葉工業大学 2016年 第2問次の各問に答えよ．
(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．
(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．
私立 埼玉工業大学 2016年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a,\ b,\ c$は定数）がある．
(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．
(1)$f(x)$が，$x=-2$と$x=1$で極値をとり，極小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[ネ]}{2},\quad b=[ノハ],\quad c=\frac{[ヒ]}{2} \]
となり，極大値は，$\displaystyle \frac{[フヘ]}{2}$である．
(2)$f(x)$が，$x=-1$で極大値$34$をとり，$x=5$で極小値をとるとき，
\[ a=[ホマ],\quad b=[ミムメ],\quad c=[モヤ] \]
となる．
私立 東京経済大学 2016年 第4問関数$f(x)=x^3+ax^2-bx+c$は，$x=1$のとき極小値$2$をとり，$x=-3$のとき極大値をとる．このとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$であり，極大値は$[ネ][ノ]$である．
私立 名城大学 2016年 第2問関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフに点$(2,\ -4)$から引いた$2$本の接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)関数$f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と，$(2)$の$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$のグラフに点$(2,\ -4)$から引いた$2$本の接線の方程式をそれぞれ求めよ．
(3)関数$f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と，$(2)$の$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 金沢工業大学 2016年 第4問$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり，$x=1$で極小値$0$をとる．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．
(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．
(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．
(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．
(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．
国立 旭川医科大学 2015年 第2問$n$を正の整数とする．$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi$の範囲で関数$f(x)=x \sin x$を考える．関数$f(x)$が極大値をとる$x$を$a_n$とし，曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b_n,\ f(b_n))$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]
(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]
国立 岩手大学 2015年 第4問方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．
(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．
(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第3問$F(x),\ f(x),\ g(x)$は関数である．次の問いに答えよ．
(1)$0<a \leqq \pi$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．
(i) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする．$f(x)$を求めよ．
(ii) $f(x)$は$(ⅰ)$で求めた関数である．$g(x)$は，$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし，$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする．このとき，開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように，$a$の値の範囲を定めよ．
(2)$a \geqq 0$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．$f(x)>0$，$f^\prime(x)>0$であり，$g(x)=xf(x)$であるとする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ．
(1)$0<a \leqq \pi$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^x \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．
(i) $f(x)$は$\displaystyle (1-x) \int_0^x f(t) \, dt=x \int_x^1 f(t) \, dt$と$f(1)=1$を満たすとする．$f(x)$を求めよ．
(ii) $f(x)$は$(ⅰ)$で求めた関数である．$g(x)$は，$x<y$ならば$g(x)>g(y)$を満たし，$\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=0$であるとする．このとき，開区間$(a,\ 2a)$で$F(x)$が極大値をただ$1$つもつように，$a$の値の範囲を定めよ．
(2)$a \geqq 0$とし，$\displaystyle F(x)=\int_a^{x+a} \cos (t-a) g(\sin (t-a)) \, dt-f(x)$とする．$f(x)>0$，$f^\prime(x)>0$であり，$g(x)=xf(x)$であるとする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$F(x) \leqq 0$となることを示せ．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=|\abs{x^2-3|-1} (x \geqq 0)$を考える．
(i) $f(x)=0$となるのは$x=\sqrt{[ア]}$または$x=[イ]$のときである．ただし，$\sqrt{[ア]}<[イ]$とする．
(ii) 関数$f(x)$は区間$\sqrt{[ア]} \leqq x \leqq [イ]$において，$x=\sqrt{[ウ]}$で極大値$[エ]$をとる．
(iii) $\displaystyle \int_0^2 \frac{3}{8}f(x) \, dx=[オ]+\sqrt{[カ]}+\frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．
(2)関数$g(x)$を
\[ g(x)=2^{3x+2}-3(1+\sqrt{2}) \cdot 4^x+3 \cdot 2^{x+\frac{1}{2}} \]
で定める．$g(x)$は，
$x=[コ]$で極大値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$，
$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$で極小値$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}+\frac{[ト]}{[ナ]} \sqrt{[ニ]}$
をとる．
(1)関数$f(x)=|\abs{x^2-3|-1} (x \geqq 0)$を考える．
(i) $f(x)=0$となるのは$x=\sqrt{[ア]}$または$x=[イ]$のときである．ただし，$\sqrt{[ア]}<[イ]$とする．
(ii) 関数$f(x)$は区間$\sqrt{[ア]} \leqq x \leqq [イ]$において，$x=\sqrt{[ウ]}$で極大値$[エ]$をとる．
(iii) $\displaystyle \int_0^2 \frac{3}{8}f(x) \, dx=[オ]+\sqrt{[カ]}+\frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．
(2)関数$g(x)$を
\[ g(x)=2^{3x+2}-3(1+\sqrt{2}) \cdot 4^x+3 \cdot 2^{x+\frac{1}{2}} \]
で定める．$g(x)$は，
$x=[コ]$で極大値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$，
$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$で極小値$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}+\frac{[ト]}{[ナ]} \sqrt{[ニ]}$
をとる．