「根号」について
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(4ページ目:全1904問中31問~40問を表示)![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$,放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$,放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
図のような,一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり,$\mathrm{OP}=x$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で,立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る.その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ.
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ.
\end{mawarikomi}
(図は省略)
}
図のような,一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり,$\mathrm{OP}=x$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で,立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る.その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ.
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ.
\end{mawarikomi}
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$a,\ b,\ c$および$d$は実数で,$a>0$,$b<0$,$d \neq 0$とする.また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく.$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$があり,点$\mathrm{O}$は原点を表す.点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$,$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である.この$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき,定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい.
(i) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(iii) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく.$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$があり,点$\mathrm{O}$は原点を表す.点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で,$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$,$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である.この$3$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき,定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい.
(i) $t=0$のとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である.
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である.
(iii) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$は,$t=1$および$t=-3$のとき,それぞれ同一平面上にある.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$a,\ b,\ p,\ q,\ r$は実数とする.$3$次方程式$x^3+px^2+qx+r=0$の$3$つの解が
\[ (2a+1)^2+(a-b)i, (2a+1)^2+(a^2+b+1)i, (2a+1)^2+(a^2+b-1)i \]
であるとき,$p,\ q,\ r$の値を求めなさい.ただし,$i=\sqrt{-1}$である.
\[ (2a+1)^2+(a-b)i, (2a+1)^2+(a^2+b+1)i, (2a+1)^2+(a^2+b-1)i \]
であるとき,$p,\ q,\ r$の値を求めなさい.ただし,$i=\sqrt{-1}$である.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$,放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ.
(2)$t \geqq 0$とする.原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき,$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と,放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ.
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を,半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)次の方程式を解きなさい.
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい.
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい.
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい.
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]
(1)次の方程式を解きなさい.
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい.
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい.
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい.
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
$t$を$\displaystyle t+\frac{1}{t}=\sqrt{2}$を満たす数とし,$\displaystyle A_n=t^n+\frac{1}{t^n}$($n$は自然数)とするとき,次の問いに答えなさい.
(1)$A_2,\ A_3,\ A_4$の値を求めなさい.
(2)$n \geqq 2$のとき,$A_{n+1}$を$A_n,\ A_{n-1}$を用いて表しなさい.
(3)$n \geqq 3$のとき,$A_{n+2}$を$A_{n-2}$を用いて表しなさい.
(4)$A_n$のとりうる値をすべて求めなさい.
(1)$A_2,\ A_3,\ A_4$の値を求めなさい.
(2)$n \geqq 2$のとき,$A_{n+1}$を$A_n,\ A_{n-1}$を用いて表しなさい.
(3)$n \geqq 3$のとき,$A_{n+2}$を$A_{n-2}$を用いて表しなさい.
(4)$A_n$のとりうる値をすべて求めなさい.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい.
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい.
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と,そのときの$x$を求めなさい.
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい.
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい.
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と,そのときの$x$を求めなさい.
![熊本大学](./img/univ/kumamoto.png)
自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく.以下の問いに答えよ.
(1)和$S(a)$を求めよ.
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする.一般項$a_n$を求めよ.
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について,$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ.
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ.
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく.以下の問いに答えよ.
(1)和$S(a)$を求めよ.
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする.一般項$a_n$を求めよ.
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について,$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ.
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ.