「根号」について
タグ「根号」の検索結果
(3ページ目:全1904問中21問~30問を表示)![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{W}(w)$,$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり,
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする.ただし,$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする.$2$直線$\mathrm{OW}$,$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき,次の問に答えよ.
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ.
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
$a,\ b$を正の定数とし,$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
次の問いに答えよ.
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく.定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ.
(2)$b$を実数とし,$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める.$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする.
(i) $b$を求めよ.
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく.定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ.
(2)$b$を実数とし,$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める.$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする.
(i) $b$を求めよ.
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
座標平面において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は,ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする.
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ.
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ.
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
次の$6$つの数
\[ \left( \sqrt{10}-\sqrt{3} \right)^{\frac{1}{3}},\quad \log_{\sqrt{3}} \frac{7}{4},\quad \frac{7}{9},\quad \log_7 5,\quad \frac{1}{\log_6 12},\quad \log_{(\sqrt{15}-\sqrt{10})}12 \]
について答えよ.
(1)$6$つの数のうち負の数はどれか,すべて答えよ.
(2)$6$つの数のうち$1$以上の数はどれか,すべて答えよ.
(3)$6$つの数のうち,$(1)$と$(2)$以外の数を左から小さい順に並べよ.
\[ \left( \sqrt{10}-\sqrt{3} \right)^{\frac{1}{3}},\quad \log_{\sqrt{3}} \frac{7}{4},\quad \frac{7}{9},\quad \log_7 5,\quad \frac{1}{\log_6 12},\quad \log_{(\sqrt{15}-\sqrt{10})}12 \]
について答えよ.
(1)$6$つの数のうち負の数はどれか,すべて答えよ.
(2)$6$つの数のうち$1$以上の数はどれか,すべて答えよ.
(3)$6$つの数のうち,$(1)$と$(2)$以外の数を左から小さい順に並べよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ.また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ.
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ.また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする.関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.