「根号」について
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（23ページ目：全1904問中221問～230問を表示）
私立 沖縄国際大学 2016年 第2問以下の各問いに答えなさい．
(1)以下のうちで有理数となるものをすべて選びなさい．
\[ 1,\quad 0.333 \cdots,\quad 4 \pi,\quad \sqrt{2},\quad \sqrt{9} \]
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．
(i) $20x^2+23x+6$
(ii) $x^4+x^2+1$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の連立不等式の解を答えなさい．
(i) $\left\{ \begin{array}{l}
5x-10>3x-4 \\
7x-3 \leqq 4x+12
\end{array} \right.$
(ii) $\left\{ \begin{array}{l}
4 \leqq 3x-10 \\
7x \leqq 5(4x+1)
\end{array} \right.$
(4)以下の条件の否定を答えなさい．
「 $a>1$ \quad または \quad $b \leqq 2$ 」
(1)以下のうちで有理数となるものをすべて選びなさい．
\[ 1,\quad 0.333 \cdots,\quad 4 \pi,\quad \sqrt{2},\quad \sqrt{9} \]
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．
(i) $20x^2+23x+6$
(ii) $x^4+x^2+1$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の連立不等式の解を答えなさい．
(i) $\left\{ \begin{array}{l}
5x-10>3x-4 \\
7x-3 \leqq 4x+12
\end{array} \right.$
(ii) $\left\{ \begin{array}{l}
4 \leqq 3x-10 \\
7x \leqq 5(4x+1)
\end{array} \right.$
(4)以下の条件の否定を答えなさい．
「 $a>1$ \quad または \quad $b \leqq 2$ 」
私立 沖縄国際大学 2016年 第3問以下の各問いに答えなさい．
(1)下の図において，$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$の値を，それぞれ求めなさい．
（図は省略）
(2)$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{5}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めなさい．ただし，$\theta$は鋭角とする．
(3)下の図において，$100 \, \mathrm{m}$離れた$2$地点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から，上空の飛行物体$\mathrm{X}$を見ると$\angle \mathrm{XAB}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{XBA}={75}^\circ$であった．また，$\mathrm{B}$から$\mathrm{X}$を見上げたときの角度は${30}^\circ$であった．このとき，$\mathrm{X}$と$\mathrm{B}$の標高差にあたる$\mathrm{XH}$を求めなさい．
（図は省略）
(1)下の図において，$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$の値を，それぞれ求めなさい．
（図は省略）
(2)$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{5}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めなさい．ただし，$\theta$は鋭角とする．
(3)下の図において，$100 \, \mathrm{m}$離れた$2$地点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$から，上空の飛行物体$\mathrm{X}$を見ると$\angle \mathrm{XAB}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{XBA}={75}^\circ$であった．また，$\mathrm{B}$から$\mathrm{X}$を見上げたときの角度は${30}^\circ$であった．このとき，$\mathrm{X}$と$\mathrm{B}$の標高差にあたる$\mathrm{XH}$を求めなさい．
（図は省略）
私立 天使大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の式を展開しなさい．
$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$
(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい．
約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個，約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である．
(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき，次の式を簡単にしなさい．
$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$
(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある．平均値が$5$，分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい．
$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$．ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である．
(1)次の式を展開しなさい．
$(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)^2(x^2+y^2)$
$=\mkakko{$\mathrm{a}$}x^7+\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}x^4y^3+\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}x^3y^4+\mkakko{$\mathrm{f}$}y^7$
(2)$360$の正の約数の個数とその総和を求めなさい．
約数の個数は$\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}$個，約数の総和は$\mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}$である．
(3)実数$x$と$y$が$x<0<y$を満たすとき，次の式を簡単にしなさい．
$\sqrt{x^2-4xy+4y^2}+|3x-5y|=\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}x+\mkakko{$\mathrm{o}$}y$
(4)$2,\ 3,\ A,\ 6,\ B$という値からなるデータがある．平均値が$5$，分散の値が$6$であるとき$A$と$B$の値を求めなさい．
$(A,\ B)=(\mkakko{$\mathrm{p}$},\ \mkakko{$\mathrm{q}$})$または$(\mkakko{$\mathrm{r}$},\ \mkakko{$\mathrm{s}$})$．ただし$\mkakko{$\mathrm{p}$}<\mkakko{$\mathrm{r}$}$である．
私立 天使大学 2016年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく．さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい．
$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$
(ii) $U$の要素の中で，既約分数の個数を$N_3$とする．$N_3$を求めなさい．
$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である．
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である．
(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく．さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい．
$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$
(ii) $U$の要素の中で，既約分数の個数を$N_3$とする．$N_3$を求めなさい．
$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である．
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である．
私立 天使大学 2016年 第5問次の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり，この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している．また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$，$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である．
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．ただし$a$は定数である．
$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$
次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である．
(ii) $(ⅰ)$より，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で，かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は，小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$，$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$，$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり，この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している．また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である．次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$，$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である．
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．ただし$a$は定数である．
$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$
次の問いに答えなさい．
(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である．
(ii) $(ⅰ)$より，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で，かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は，小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$，$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$，$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である．
私立 近畿大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．四角形$\mathrm{DBCE}$は円$\mathrm{O}$に内接しており，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}$とする．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
私立 近畿大学 2016年 第3問$i$を虚数単位とする．異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする．さらに，$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする．複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．
(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である．
(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき，$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である．さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると，点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{（ただし$\delta$は$0$と異なる定数）} \]
を満たす．このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．
(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ，実軸上，虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である．さらに，$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である．
(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である．
(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき，$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である．さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると，点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{（ただし$\delta$は$0$と異なる定数）} \]
を満たす．このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．
(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ，実軸上，虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である．さらに，$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である．
私立 近畿大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．四角形$\mathrm{DBCE}$は円$\mathrm{O}$に内接しており，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}$とする．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
公立 首都大学東京 2016年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の式を展開しなさい．
\[ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]
(2)$a,\ b,\ c$を$0$以上の実数とする．次の不等式が成り立つことを示しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい．
\[ \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc} \]
(1)次の式を展開しなさい．
\[ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \]
(2)$a,\ b,\ c$を$0$以上の実数とする．次の不等式が成り立つことを示しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか答えなさい．
\[ \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc} \]
公立 横浜市立大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．