以下の問いに答えよ．
(1) ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s \ \ (>0)$は \[ s=\sqrt{s^2} \] となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は \[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \] で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2) 方程式 \[ x^2-3y^2=13 \] の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず \[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \] とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式 \[ X^2-3Y^2=13 \] を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3) $n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4) $n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ． \[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n \fbox{} \] ただし，積分定数は書かなくてよい．