「根号」について
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(191ページ目:全1904問中1901問~1910問を表示)![会津大学](./img/univ/aizu.png)
$(1)$の問いに答えよ.また,$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ.
(1)次の積分を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.
(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[ ]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[ ]$
(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき,$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[ ]$である.
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[ ]$である.
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ ]$である.
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき,$\tan \theta=[ ]$である.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[ ]である.
(1)次の積分を求めよ.ただし,積分定数は省略してもよい.
(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[ ]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[ ]$
(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき,$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[ ]$である.
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[ ]$である.
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ ]$である.
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき,$\tan \theta=[ ]$である.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[ ]である.
![富山県立大学](./img/univ/toyamakenritsu.png)
曲線$C:y=\sqrt{4x-x^2-3} (1 \leqq x \leqq 3)$について,次の問いに答えよ.
(1)曲線$C$のグラフをかけ.
(2)$k$は定数とする.直線$y=x+k$と曲線$C$が接する点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$,$\mathrm{B}(3,\ 4)$がある.点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき,$\triangle \mathrm{ABQ}$の面積の最小値を求めよ.
(1)曲線$C$のグラフをかけ.
(2)$k$は定数とする.直線$y=x+k$と曲線$C$が接する点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$,$\mathrm{B}(3,\ 4)$がある.点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき,$\triangle \mathrm{ABQ}$の面積の最小値を求めよ.
![岐阜薬科大学](./img/univ/gihuyakka.png)
一辺の長さが$1$の正二十面体$W$のすべての頂点が球$S$の表面上にあるとき,次の問いに答えよ.なお,正二十面体は,すべての面が合同な正三角形であり,各頂点は$5$つの正三角形に共有されている.
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ.
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$,頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて,正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ.
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち,頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする.球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ.
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする.$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ.
(1)正二十面体の頂点の総数を求めよ.
(2)正二十面体$W$の$1$つの頂点を$\mathrm{A}$,頂点$\mathrm{A}$からの距離が$1$である$5$つの頂点を$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$\displaystyle \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}$を用いて,正五角形$\mathrm{BCDEF}$の外接円の半径$R$と対角線$\mathrm{BE}$の長さを求めよ.
(3)$2$つの頂点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$からの距離が$1$である$2$つの頂点のうち,頂点$\mathrm{A}$でない方を$\mathrm{G}$とする.球$S$の直径$\mathrm{BG}$の長さを求めよ.
(4)球$S$の中心を$\mathrm{O}$とする.$\triangle \mathrm{DEG}$を底面とする三角錐$\mathrm{ODEG}$の体積を求めよ.
![横浜市立大学](./img/univ/yokohamashiritsu.png)
以下の問いに答えよ.
(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で,$a \neq 0$とする.$x=t+\alpha$($\alpha$は定数)とおいて,$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする.このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ.
(2)$R$を正の実数とする.極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ.
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある(単位系は省略).$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており,それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを$E_S$,東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ.簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$,$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.
(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で,$a \neq 0$とする.$x=t+\alpha$($\alpha$は定数)とおいて,$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする.このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ.
(2)$R$を正の実数とする.極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ.
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある(単位系は省略).$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており,それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを$E_S$,東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ.簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$,$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.