会津大学
2010年 コンピュータ理工 第1問
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∫sin^3xcosxdx=[](2)y=\sqrt[5]{2x-1}のとき，dy/dx=[]である．(3)方程式2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}の解はx=[]である．(4)方程式log_3(x-5)=2-log_3(x+3)の解はx=[]である．(5)2直線y=3xとy=x/3のなす角をθとするとき，tanθ=[]である．ただし，0＜θ＜π/2とする．\mon座標平面上で次の連立不等式{\begin{array}{l}|x|+|y|≦2\\x^2+y^2≧2\end{array}.の表す領域の面積は[]である．](./thumb/78/2184/2010_1.png)
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$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．
(1) 次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(ⅰ) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=\fbox{}$
(ⅱ) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=\fbox{}$
(2) $y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\fbox{}$である．
(3) 方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=\fbox{}$である．
(4) 方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=\fbox{}$である．
(5) 2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=\fbox{}$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする． 座標平面上で次の連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} |x|+|y| \leqq 2 \\ x^2+y^2 \geqq 2 \end{array} \right. \] の表す領域の面積は\fbox{}である．
(1) 次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(ⅰ) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=\fbox{}$
(ⅱ) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=\fbox{}$
(2) $y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\fbox{}$である．
(3) 方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=\fbox{}$である．
(4) 方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=\fbox{}$である．
(5) 2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=\fbox{}$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする． 座標平面上で次の連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} |x|+|y| \leqq 2 \\ x^2+y^2 \geqq 2 \end{array} \right. \] の表す領域の面積は\fbox{}である．
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