座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．

次の計算をしなさい．対数は自然対数とする．
\[ \int_0^3 \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} \, dx=[$7$],\qquad \int_1^{\sqrt{3}} 2x \log (1+x^2) \, dx=[$8$] \]

$0$でない実数$x,\ y,\ z,\ w$と正の整数$a,\ b,\ c,\ d$が，
\[ a^x=b^y=c^z=d^w,\quad \frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{w} \]
を満たすものとする．ただし，$a>b>c>1$，$d>1$とする．

(1)$a,\ b,\ c$を用いて$d$を表せ．
(2)$d \leqq 1000$かつ$\sqrt{d}$が整数であるような$d$を$1$つ求めよ．

$i$を虚数単位，$k$を実数とするとき，$3$次方程式$\displaystyle 2x^3-(6k+3i)x^2-\frac{4}{3}x-9+2i=0$が$2$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は$\displaystyle k=-\frac{[$24$]}{[$25$]}$であり，その$2$つの実数解は$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$である．

次の問に答えよ．

(1)$3^{2x}=7$のとき，$\displaystyle \frac{3^{3x}+3^{-3x}}{{(3^x+3^{-x})}^3}=\frac{[$28$][$29$]}{[$30$][$31$]}$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_3 441-9 \log_3 \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log_3 \frac{27}{343}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．

(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{-[$34$]+\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．

座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．

$\overrightarrow{a}=(1,\ 3,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ -1,\ 1)$，$t$を実数として次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=\frac{[$50$]}{[$51$]}$で最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[$52$][$53$]}}{[$54$]}$をとる．

(2)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${45}^\circ$のとき，$\displaystyle t=\frac{[$55$]+\sqrt{[$56$][$57$]}}{[$58$]}$である．

実数$t$は$0 \leqq t<2\pi$を動くとし，点$\mathrm{P}(2 \cos t,\ 2 \sin t)$，点$\mathrm{Q}(-2 \sin t,\ 2 \cos t)$，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とおく．このとき$\mathrm{OP}=[ア]$で，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は$[イ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$が一直線に並ぶのは$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]} \pi$のときである．
(3)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積は$\displaystyle S(t)=[オ]-[カ] \sin \left( t+\frac{[キ]}{[ク]} \pi \right)$である．また$S(t)$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]} \pi$のとき最大値$[サ]$をとる．

定積分
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x} \, dx,\quad J=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x} \, dx \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$I+\sqrt{3}J$の値を求めよ．
(2)$\sqrt{3}I-J$の値を求めよ．
(3)$I,\ J$の値を求めよ．

$\displaystyle x=\frac{5-\sqrt{21}}{2},\ y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$のとき，次の式の値を求めよ．

(1)$x^2+y^2$
(2)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$