$x,\ y$を正の整数とする．

(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である．
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である．

次の問に答えよ．

(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は，すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(i) $a_1=256$であるとき，$a_4$は$[コ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である．
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき，$a_4$は$[シ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である．
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する．

(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える．$4$回投げたとき，$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である．また，$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき，$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である．

座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）

次の各問の解答を記入せよ．

(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$1368$と$7980$の最大公約数を求めよ．
(2)$1$次不定方程式$1368x+7980y=0$のすべての整数解を求めよ．
(3)$x,\ y$を整数とするとき，$1368x+7980y$のとりうる正の値のうち最小のものを求めよ．

白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う．このとき，次の問に答えなさい．

(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と，この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく．また，直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a=0$のとき，接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$，$[ウ]$である．また，$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．

(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり，
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる．
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである．

次の$[　]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．

(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_x^{x+1} (1+|t|)(1+|t-1|) \, dt \]
と定義する．

(1)$x \leqq -1$のとき，
\[ f(x)=[ネ]x^2+[ノ]x+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
である．
(2)$x$が実数全体を動くとき，関数$f(x)$は，$x=[フ]$のとき最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．