「最大」について
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(9ページ目:全460問中81問~90問を表示)![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$上の点とし,$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$,$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$(ただし,$0<a<4$,$0<b<4$)とする.
(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$b=2$とし,点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする.このとき,$a$の値を求めよ.
(3)$(2)$の条件のもとで,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$b=2$とし,点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする.このとき,$a$の値を求めよ.
(3)$(2)$の条件のもとで,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
![京都工芸繊維大学](./img/univ/kyotokousen.png)
$xyz$空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$を考える.直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}_1$,$C_2$はそれぞれ次の条件を満たす.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる.
このとき,次の問いに答えよ.
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ.
(3)$2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる.
直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき,$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる.
このとき,次の問いに答えよ.
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ.
(3)$2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ.
![帯広畜産大学](./img/univ/obihiro.png)
数列$\{a_n\}$は初項$a$,公比$r$の等比数列であり,その一般項を$a_n$で表す.また,数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され,その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す.ただし,$n$は自然数である.次の各問に答えなさい.
(1)$a_2=16$,$b_3=2$とする.
(i) $r,\ a$の値を求めなさい.
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい.
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい.
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする.
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい.
(ii) $S_n$が最大になるとき,$n$および$S_n$の値を求めなさい.
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい.
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする.
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい.
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$,$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき,$b_2$の値を求めなさい.
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$,$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき,$b_3$の値を求めなさい.
(1)$a_2=16$,$b_3=2$とする.
(i) $r,\ a$の値を求めなさい.
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい.
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい.
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする.
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい.
(ii) $S_n$が最大になるとき,$n$および$S_n$の値を求めなさい.
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい.
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする.
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい.
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$,$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき,$b_2$の値を求めなさい.
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$,$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき,$b_3$の値を求めなさい.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき,
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ.
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく.ただし,$m \geqq 0$,$n \geqq 0$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ.
(ii) $S \geqq 0$,$T \geqq 0$のとき,$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ.
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき,
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ.
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく.ただし,$m \geqq 0$,$n \geqq 0$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ.
(ii) $S \geqq 0$,$T \geqq 0$のとき,$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく.ただし,$m \geqq 0$,$n \geqq 0$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1)$S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ.
(2)$S \geqq 0$,$T \geqq 0$のとき,$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ.
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく.ただし,$m \geqq 0$,$n \geqq 0$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1)$S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ.
(2)$S \geqq 0$,$T \geqq 0$のとき,$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ.
![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える.$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり,点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする.ただし,$a<b$とする.以下の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が,$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする.このとき,$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき,$(2)$で求めた内積を$s$で表せ.
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
$*$ \ $(2)$~$(4)$については,必答範囲外からの出題のため,技術・情報科学の受験者全員に対し,正解とする.
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が,$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする.このとき,$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき,$(2)$で求めた内積を$s$で表せ.
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
$*$ \ $(2)$~$(4)$については,必答範囲外からの出題のため,技術・情報科学の受験者全員に対し,正解とする.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
関数$f(x)=xe^{-x}$について,次の各問いに答えよ.ただし,$e$は自然対数の底であり,$x>0$とする.
(1)$f(x)$の極値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ,その概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい.
(2)$t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ.
(3)$t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ.
(1)$f(x)$の極値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ,その概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい.
(2)$t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ.
(3)$t>0$とするとき,曲線$y=f(x)$と$x$軸,および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき,
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ.
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく.ただし,$m \geqq 0$,$n \geqq 0$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ.
(ii) $S \geqq 0$,$T \geqq 0$のとき,$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ.
(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき,
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ.
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく.ただし,$m \geqq 0$,$n \geqq 0$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ.
(ii) $S \geqq 0$,$T \geqq 0$のとき,$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$p$と$q$は正の整数とする.$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.ただし$\alpha>\beta$とする.数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.ただし$\alpha^0=1$,$\beta^0=1$と定める.
(1)すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2)すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3)自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.ただし$\alpha^0=1$,$\beta^0=1$と定める.
(1)すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2)すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3)自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
実数$x$をこえない最大の整数を$[x]$とし,$\langle x \rangle=x-[x]$とする.また,$a$を定数として次の方程式を考える.
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし,$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする.
(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい.
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば,任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい.
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい.
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし,$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする.
(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい.
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば,任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい.
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい.