$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．

(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$xyz$空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$を考える．直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}_1$，$C_2$はそれぞれ次の条件を満たす．

直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる．

直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ．

(3)$2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ．

数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．

(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．

(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．

(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．

(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．

(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．

(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．

次の各問いに答えよ．

(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．

関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(2)$S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える．$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．

$p$と$q$は正の整数とする．$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし$\alpha>\beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．ただし$\alpha^0=1$，$\beta^0=1$と定める．

(1)すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$a_n$は整数であることを示せ．
(3)自然数$n$に対し，$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする．$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．

実数$x$をこえない最大の整数を$[x]$とし，$\langle x \rangle=x-[x]$とする．また，$a$を定数として次の方程式を考える．
\[ 4 \langle x \rangle^2-\langle 2x \rangle-a=0 \]
ただし，$\langle x \rangle^2$は$\langle x \rangle$の二乗を表すとする．

(1)$x=1.7$のとき$\langle x \rangle$および$\langle 2x \rangle$を求めなさい．
(2)$\alpha$が上の方程式の解ならば，任意の整数$n$について$\alpha+n$も解であることを示しなさい．
(3)上の方程式が解を持つような実数$a$の範囲を求めなさい．