数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1) $a_2=16$，$b_3=2$とする．
(ⅰ) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ⅱ) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(ⅲ) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2) $\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(ⅰ) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ⅱ) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(ⅲ) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3) $\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(ⅰ) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい． \[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ⅱ) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(ⅲ) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．