「最大値」について
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(3ページ目:全1143問中21問~30問を表示)![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,$t>0$とする.曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$,$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
実数$a,\ b$に対し,関数
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち,その極値が$0$以上になるとする.次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ.
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき,$a-2b$の最大値を求めよ.
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち,その極値が$0$以上になるとする.次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ.
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき,$a-2b$の最大値を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
次の問いに答えよ.
(1)$c$を正の定数とする.正の実数$x,\ y$が$x+y=c$をみたすとき,
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) \]
の最小値を$c$を用いて表せ.
(2)正の実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$をみたすとき,
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) \left( 1-\frac{4}{3z} \right) \]
の最大値を求めよ.
(1)$c$を正の定数とする.正の実数$x,\ y$が$x+y=c$をみたすとき,
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) \]
の最小値を$c$を用いて表せ.
(2)正の実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$をみたすとき,
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right) \left( 1+\frac{1}{y} \right) \left( 1-\frac{4}{3z} \right) \]
の最大値を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
$0<\theta<\pi$とする.単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{C}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ.また,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし,頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.また,四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし,$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする.次の問いに答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ.
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ.
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし,$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする.次の問いに答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ.
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ.
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$(ⅰ)$~$\tokeishi$で定める.
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし,曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$p$を実数とし,点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり,点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする.$p<3$の範囲を$p$が動くとき,$q_1-q_2$の最大値を求めよ.
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は,$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが,それらの面積のうち小さい方を$S$,大きい方を$T$とするとき,$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$p$を実数とし,点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり,点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする.$p<3$の範囲を$p$が動くとき,$q_1-q_2$の最大値を求めよ.
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は,$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが,それらの面積のうち小さい方を$S$,大きい方を$T$とするとき,$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -x^2+4 \\
y \geqq -\displaystyle\frac{1}{2}x+1
\end{array} \right.$の表す領域を図示しなさい.
(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき,$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい.
(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -x^2+4 \\
y \geqq -\displaystyle\frac{1}{2}x+1
\end{array} \right.$の表す領域を図示しなさい.
(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき,$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
次の問いに答えなさい.
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい.
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい.
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と,そのときの$x$を求めなさい.
(1)方程式$x^2-2 |x|-3=0$を解きなさい.
(2)次の$2$直線のなす角$\theta$を求めなさい.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-10,\quad y=-3 \sqrt{3}x+2 \]
(3)次の不等式を解きなさい.
\[ \log_{\sqrt{2}}(x-1) \leqq 1+\log_2 (x+1) \]
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {360}^\circ$とするとき$\sin (x+{50}^\circ)+\cos (x+{20}^\circ)$の最大値と,そのときの$x$を求めなさい.