$a,\ b,\ p,\ q$を実数として，未知数$x$の方程式
\[ p(x^2+ax+b) +x-q=0 \cdots (*) \]
を考える．

(1)$p$がどのような値であっても方程式$(*)$がつねに実数解をもつためには，$a^2-4b \geqq 0$が必要条件であることを示せ．
(2)$a^2-4b \geqq 0$とし，$\alpha,\ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$を方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの実数解とする．このとき，$p$がどのような値であっても方程式$(*)$がつねに実数解をもつのは$q$がどのような範囲$R$にあるときか答えよ．
(3)$a^2-4b \geqq 0$で$q$が$(2)$で求めた範囲$R$にあるとき，方程式$(*)$は範囲$R$に少なくとも$1$つの解をもつことを示せ．

定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

$xy$平面上に$2$直線
\[ \ell:y=-x+5,\quad m:y=3x-3 \]
が与えられている．曲線$C$は，$y=x^2$を平行移動した放物線であり，$\ell$と点$\mathrm{P}$で接し，$m$と点$\mathrm{Q}$で接しているとする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．

自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定義する．
\[ f_n(x)=(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin \frac{x}{2} \]
次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_2(x)=0$の実数解$x$で，$0<x<\pi$を満たすものを求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^\pi f_{50}(x) \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$(\log_5 7+\log_{25}7) \log_7 x=6$をみたす$x$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+8x+c=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (\alpha-\beta)^{2k}=3$のとき，定数$c$の値を求めよ．
(3)袋の中に青球$5$個，緑球$4$個，黄球$2$個，赤球$2$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋にさらに$n$個の赤球と$5-n$個の白球を加える．この袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，取り出された$2$個の球が同じ色でない確率が$\displaystyle \frac{5}{6}$となる$n$の値を求めよ．

方程式$\displaystyle \log (2x)-\log (4x) \log \left( \frac{4}{x} \right)=0$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は常用対数である．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$は，この方程式の異なる$2$つの実数解で，$\alpha<\beta$とする．$\alpha,\ \beta,\ 1,\ 2$を小さい順に並べよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．