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国立 茨城大学 2016年 第1問$a$を定数とし，関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．
国立 茨城大学 2016年 第3問$a$を実数の定数とする．$\displaystyle f(x)=x^3-ax^2+\frac{1}{3}(a^2-4)x$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(1)定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
国立 岩手大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ．
国立 岩手大学 2016年 第4問曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし，$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x (0<x \leqq 2)$とする．また，線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる．$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
国立 岩手大学 2016年 第4問曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Cx+D=0$の$2$つの解$\gamma,\ \delta$は
\[ \gamma \neq 0,\quad \delta \neq 0,\quad |\gamma-\delta|=2,\quad |\displaystyle\frac{1|{\gamma}-\frac{1}{\delta}}=2 \]
を満たすとする．このとき，$C,\ D$の値を求めよ．ただし，$C,\ D$は有理数である．
(1)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Cx+D=0$の$2$つの解$\gamma,\ \delta$は
\[ \gamma \neq 0,\quad \delta \neq 0,\quad |\gamma-\delta|=2,\quad |\displaystyle\frac{1|{\gamma}-\frac{1}{\delta}}=2 \]
を満たすとする．このとき，$C,\ D$の値を求めよ．ただし，$C,\ D$は有理数である．
国立 山口大学 2016年 第1問関数$f(x)=x^3-3x^2-3x+1$について，次の問いに答えなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(3)関数$y=|f(x)|$の$-1 \leqq x \leqq 4$における最大値を求めなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(3)関数$y=|f(x)|$の$-1 \leqq x \leqq 4$における最大値を求めなさい．