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私立 学習院大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，和
\[ \sum_{k=2n}^{3n} (3k^2+5k-1) \]
を$n$の整式として表せ．ただし，答えは$n$について降べきの順に整理すること．
(2)${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ．ただし，整数は$10$進法で表すものとし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$n$を自然数とするとき，和
\[ \sum_{k=2n}^{3n} (3k^2+5k-1) \]
を$n$の整式として表せ．ただし，答えは$n$について降べきの順に整理すること．
(2)${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ．ただし，整数は$10$進法で表すものとし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
私立 東北学院大学 2016年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$1368$と$7980$の最大公約数を求めよ．
(2)$1$次不定方程式$1368x+7980y=0$のすべての整数解を求めよ．
(3)$x,\ y$を整数とするとき，$1368x+7980y$のとりうる正の値のうち最小のものを求めよ．
(1)$1368$と$7980$の最大公約数を求めよ．
(2)$1$次不定方程式$1368x+7980y=0$のすべての整数解を求めよ．
(3)$x,\ y$を整数とするとき，$1368x+7980y$のとりうる正の値のうち最小のものを求めよ．
私立 愛知工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
私立 西南学院大学 2016年 第1問不等式$x^2-4<x+2$を満たす整数のうち最大のものは，$x=[ア]$である．
私立 北里大学 2016年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．
私立 北星学園大学 2016年 第1問次の条件を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を考える．
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数，$y$は$3$の倍数である．
以下の問いに答えよ．
(1)$2016$を素因数分解せよ．
(2)正の整数$n$について，$n^2$が$3$で割り切れれば，$n$も$3$で割り切れる．理由を述べよ．
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である．理由を述べよ．
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ．
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数，$y$は$3$の倍数である．
以下の問いに答えよ．
(1)$2016$を素因数分解せよ．
(2)正の整数$n$について，$n^2$が$3$で割り切れれば，$n$も$3$で割り切れる．理由を述べよ．
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である．理由を述べよ．
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ．
私立 北星学園大学 2016年 第2問$2$つの関数$f(x)=-x^2+2x+3$，$g(x)=x^2-a^2$（ただし，$a>0$）について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)>0$を満たす整数$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)>0,\ g(x)<0$を同時に満たす整数$x$の個数と，そのときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$f(x)>0$を満たす整数$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)>0,\ g(x)<0$を同時に満たす整数$x$の個数と，そのときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 北星学園大学 2016年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)$1$から$200$までの整数のうち，
(i) $3$または$4$の倍数はいくつあるか．
(ii) $3$でも$5$でも割り切れない数はいくつあるか．
(2)男子$5$人，女子$6$人の中からくじ引きで$4$人の代表を選ぶとき，女子が$2$人以上選ばれる確率を求めよ．
(1)$1$から$200$までの整数のうち，
(i) $3$または$4$の倍数はいくつあるか．
(ii) $3$でも$5$でも割り切れない数はいくつあるか．
(2)男子$5$人，女子$6$人の中からくじ引きで$4$人の代表を選ぶとき，女子が$2$人以上選ばれる確率を求めよ．
私立 京都産業大学 2016年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ．
$n$を$3$以上の整数とする．整数$x$を$2$進法で表す．上から$k+1$桁目（$1 \leqq k \leqq n$）の数を$a_k$とし，$x=1a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$と表す．$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は$0$か$1$である．この形の$x$は$[ア]$個ある．
このような$x$の中で値が最も小さいものは$10 \cdots 0_{(2)} (a_1=a_2=\cdots =a_n=0)$であり，$n$で表すと$2^n$である．また，最も大きいものを$n$で表すと$[イ]$である．$x=110 \cdots 0_{(2)} (a_1=1,\ a_2=\cdots =a_n=0)$のとき，$x$を$n$で表すと$[ウ]$である．
このような$x=1 a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$に対し，$x^\prime=1 a_2a_3 \cdots a_n{a_1}_{(2)}$とする．$x=x^\prime$となるようなすべての$x$を$n$で表すと$[エ]$である．
$x=110 \cdots 00_{(2)}$のとき，$x-x^\prime$を$n$で表すと$[オ]$である．
$x>x^\prime$となるような$x$は$[カ]$個ある．$x-x^\prime=1$となる$x$を$n$で表すと$[キ]$である．
$n$を$3$以上の整数とする．整数$x$を$2$進法で表す．上から$k+1$桁目（$1 \leqq k \leqq n$）の数を$a_k$とし，$x=1a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$と表す．$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は$0$か$1$である．この形の$x$は$[ア]$個ある．
このような$x$の中で値が最も小さいものは$10 \cdots 0_{(2)} (a_1=a_2=\cdots =a_n=0)$であり，$n$で表すと$2^n$である．また，最も大きいものを$n$で表すと$[イ]$である．$x=110 \cdots 0_{(2)} (a_1=1,\ a_2=\cdots =a_n=0)$のとき，$x$を$n$で表すと$[ウ]$である．
このような$x=1 a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$に対し，$x^\prime=1 a_2a_3 \cdots a_n{a_1}_{(2)}$とする．$x=x^\prime$となるようなすべての$x$を$n$で表すと$[エ]$である．
$x=110 \cdots 00_{(2)}$のとき，$x-x^\prime$を$n$で表すと$[オ]$である．
$x>x^\prime$となるような$x$は$[カ]$個ある．$x-x^\prime=1$となる$x$を$n$で表すと$[キ]$である．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．
(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．