次の問いに答えよ．

(1)次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

\mon[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\mon[(ii)] $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が
\[ A^2-97A+2010E=O \]
を満たすとき，$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(3)$a$を正の実数とするとき，極限値
\[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \]
を求めよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\begin{align}
& a_n=-1+\log \left( 1-\frac{1}{1+ne} \right) \nonumber \\
& b_n=\log (n^2-3n+3)-\log (1+ne) \nonumber
\end{align}
で定められている．ここで$\log$は自然対数，$e$はその底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n \geqq b_n$を満たす自然数$n$をすべて求めよ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-\log n)$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

座標平面において，曲線$y=e^x$を$C$とし，点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$，点$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_1$とする．

点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$，点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$，点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする．
以下同様の操作を繰り返し，$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める．
また，各自然数$n$について，曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として，数列
\[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \]
を定める．次の各問に答えよ．


(1)$S_1$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)無限級数
\[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある．

$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3)円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．

$n$は自然数とする．$1$以上の実数$a,\ d$と正の実数$b,\ c$を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
に対し，$n$個の積$A^n$を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^1=A \]
とおく．また，$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して，$A$は等式
\[ A \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right) \]
をみたすとする．以下の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \]
を示せ．
(2)$M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方（$b=c$の場合はどちらでも良い）とするとき，不等式
\[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \]
を示せ．
(3)数列
\[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \]
の極限値を求めよ．