公立はこだて未来大学
2010年 理系 第4問
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以下の問いに答えよ．
(1) 三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ． \[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2) 次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\ 必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3) 数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める． \[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4) (3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) 三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ． \[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2) 次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\ 必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3) 数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める． \[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4) (3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
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