$n$は自然数とする．$1$以上の実数$a,\ d$と正の実数$b,\ c$を成分とする行列 \[ A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \] に対し，$n$個の積$A^n$を \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{array} \right),\quad A^1=A \] とおく．また，$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して，$A$は等式 \[ A \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right) \] をみたすとする．以下の問いに答えよ．
(1) 不等式 \[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \] を示せ．
(2) $M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方（$b=c$の場合はどちらでも良い）とするとき，不等式 \[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \] を示せ．
(3) 数列 \[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \] の極限値を求めよ．