次の問いに答えよ．
(1) 次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4},\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ [(ii)] $a_1=1,\ \ a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2) 行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$が \[ A^2-97A+2010E=O \] を満たすとき，$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \biggr)$とする．
(3) $a$を正の実数とするとき，極限値 \[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \] を求めよ．