正の実数$p_i,\ q_i (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$が$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=\sum_{i=1}^n q_i=1$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい．
(2)不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい．
(4)正の実数$a_i (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して，$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい．

初項$1$，公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と，一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある．ここで，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．たとえば，$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$，$b_2=[2]=2$，$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である．数列$\{a_n\}$を次のように，$b_1$個，$b_2$個，$b_3$個，$\cdots$の群に分け，第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする．

$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$

第$k$群の最初の数を$c_k$とする．次に答えよ．

(1)自然数$m$に対して，$b_{3m-2}$，$b_{3m-1}$，$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ．
(2)自然数$m$に対して，$c_{3m-2}$，$c_{3m-1}$，$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ．また，数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ．
(3)$1000$は第何群の何番目の数か．
(4)$x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．ただし，$m$は自然数とする．
\[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^2+4a+5$の値を求めよ．
(2)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_2x-\log_2y=1 \\
x \log_2 x-y \log_2 y=0
\end{array} \right. \]
(3)$s,\ t$を実数とする．座標空間内の同一平面上にある$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ s,\ t)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 5,\ 1)$が$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$をみたすとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(4)初項が$3$，公比が$4$である等比数列の第$k$項を$a_k$とする．このとき，$\displaystyle \sum_{k=n}^{n^2}a_k$を求めよ．

関数$\displaystyle f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}$，$\displaystyle \log f_2(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_1(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_3(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x f_2(t) \, dt$，$\displaystyle \log f_4(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_3(t) \, dt$，$\cdots$，
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする．ただし，$\log$は自然対数である．また，
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．さらに，


$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，

$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$，

$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$


とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$f_k(x)$を積分を使わずに表せ（$k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）．
(2)$I_n$を$J$で表せ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．
(3)$J$を$K$で表せ．
(4)$I_n$を求めよ（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．

$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[　]^{[　]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．

(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．

$a$を実数とし，数列$\{a_n\}$および$\{b_n\}$を
\[ \begin{array}{ll}
a_1=a, & a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+1 & (n \text{が奇数のとき}) \\
2a_n & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \\
b_1=a, & b_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
2b_n & (n \text{が奇数のとき}) \\
b_n+1 & (n \text{が偶数のとき})
\end{array} \right. \phantom{\frac{\frac{[　]^{[　]}}{2}}{2}}
\end{array} \]
で定める．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$，および$b_2,\ b_3,\ b_4$を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{2n}$で定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{S_n\},\ \{T_n\}$，および$\{U_n\}$をそれぞれ
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n}a_k,\quad T_n=\sum_{k=1}^{2n}b_k,\quad U_n=S_n-T_n \]
で定める．

(i) $\{S_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) $a=1$のとき，$\{U_n\}$の一般項を求めよ．

等差数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=\frac{1}{6},\quad \sum_{k=11}^{40}a_k=250 \]
を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた値$N$に対して，和$\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$\displaystyle a_n=\frac{3}{2} \cdot {(-1)}^n+\frac{5}{2}$で与えられるとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{7^n}$の和を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して$b_n$は$0 \leqq b_n \leqq 6$を満たす整数で，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{7^n}=\frac{3}{8}$が成り立つ．このとき$b_1,\ b_2,\ b_3$を求め，さらに数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$r$を$|r|<1$である実数とする．自然数$n$に対して
\[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \]
とおく．
\[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \]
を$r$の式で表せ．ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい．
(2)$n$を自然数とする．$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は，$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る．

(i) $n=1$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし，$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする．$p_1+q_1$を求めよ．
(ii) $n \geqq 2$のとき，$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず，$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする．$p_n$を求めよ．
(iii) $n \geqq 2$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず，$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする．$q_n$を求めよ．

(3)$(2)$で求めた$p_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して
\[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \]
とおく．$E$の値を求めよ．