「接線」について
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国立 東京農工大学 2016年 第4問$xy$平面上の$2$つの曲線
$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$
を考える．正の実数$p,\ q$について，点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$，曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$
を考える．正の実数$p,\ q$について，点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$，曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第2問関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする．
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい．
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい．
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき，$a,\ b$がみたす条件を求めなさい．
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい．
国立 千葉大学 2016年 第5問曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く．正の実数$r$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く．正の実数$r$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第4問曲線$\displaystyle y=-x^2+\frac{3}{2}$上の点$\mathrm{P}(x,\ y) (y \geqq 0)$から原点$\mathrm{O}$が中心で半径が$1$である円に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．四角形$\mathrm{PAOB}$の面積の最大値$M$，最小値$m$とそれらを与える点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第4問$a,\ b$を実数とし，曲線$C:y=x^3-3ax^2+bx$を考える．$C$の接線の傾きの最小値が$-3$であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$C$が$x$軸の正の部分，負の部分とそれぞれ$1$点で交わるとする．このとき$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$C$が$x$軸の正の部分，負の部分とそれぞれ$1$点で交わるとする．このとき$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積の最小値を求め，そのときの$a$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第1問$k$を実数とする．放物線$C:y=-2x^2$と直線$\ell:y=kx-2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき，$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$の値を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き，その交点を$\mathrm{R}$とする．$k$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき，$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$の値を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き，その交点を$\mathrm{R}$とする．$k$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第3問円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(6,\ 0)$を通り，$\ell$に垂直な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{PQ}$の最大値を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．