以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の方程式を解きなさい．
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい．
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい．
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]

$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(3x)+g(2x)=\sin 6x \quad \cdots\cdots (*) \\
f^\prime(3x)+g^\prime(2x)=\sin 6x \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
f(0)=3
\end{array} \right. \]
を満たしている．下の問いに答えなさい．

(1)等式$(*)$の両辺を$x$で微分しなさい．
(2)$f^\prime(3x)$を求めなさい．
(3)$f(x),\ g(x)$を求めなさい．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

$2$つの関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)$，$g(x)=e^{-x} \sin x$を考える．

(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)定積分
\[ S_1=\int_0^{2\pi} |g(x)| \, dx \]
を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\int_{2(n-1) \pi}^{2n \pi} |g(x)| \, dx \]
とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．
(4)無限級数の和
\[ \sum_{n=1}^{\infty} S_n \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．
(2)$x^2-4x+1=0$のとき，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$，$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ．
(3)次の関数を微分せよ．
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\sin (\cos x) \qquad (ⅱ) y=\frac{e^{2x}}{x+1} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin x \cos x| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\sqrt{\frac{3}{4-3x^2}} \right) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 x^3 \log x \, dx$

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\sin (\cos x) \qquad (ⅱ) y=\frac{e^{2x}}{x+1} \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin x \cos x| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^3+2x^2-3}{x^2-1} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\sqrt{\frac{3}{4-3x^2}} \right) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_1^2 x^3 \log x \, dx$