「座標」について
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国立 宮崎大学 2016年 第5問$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．
(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第1問$k$を実数とする．放物線$C:y=-2x^2$と直線$\ell:y=kx-2$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき，$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$の値を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き，その交点を$\mathrm{R}$とする．$k$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$としたとき，$\alpha+\beta$と$\alpha\beta$の値を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ引き，その交点を$\mathrm{R}$とする．$k$がすべての実数を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第2問座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第2問座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第2問座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．