関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

円$C:x^2+y^2-4y+3=0$と直線$\ell:2ax-y-2a=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2+2$，$C_2:y=x^2-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(k,\ k^2+2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，$k$は定数である．
(2)接線$\ell$と放物線$C_2$の交点の$x$座標を$k$の式で表せ．
(3)接線$\ell$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$は定数とする．$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(a-1,\ (a-1)^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点の座標を$a$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$の式で表せ．ただし，$a \neq 0,\ 1$とする．
(3)$0<a<1$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

大小$2$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ b)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$-1$となる確率を求めよ．
(2)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが整数となる確率を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$（両端を含まない）と直線$y=-x+3$がただ$1$点で交わる確率を求めよ．

座標平面において，連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-2x \\
y-x \leqq 0
\end{array} \right.$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の点$(x,\ y)$に対して$x+y=a$とする．$a$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$を求めよ．
(3)$D$の点$(x,\ y)$に対して$xy=b$とする．$b$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．

曲線$C:y=ax^2-6ax (x \leqq 3)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は$2$である．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は負の定数とする．

(1)$C$の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$で$\ell$と垂直に交わる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(4)$C$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S_2(a)$を求めよ．

曲線$C:y=\sqrt{2x}$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は$4$である．以下の問いに答えよ．

(1)$C$の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$の点$\mathrm{A}$における法線$m$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．
(4)$C$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．