「平面」について
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国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第2問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のような，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{OP}=x$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で，立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る．その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
図のような，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{OP}=x$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で，立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る．その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ．
\end{mawarikomi}
国立 香川大学 2016年 第3問平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$を満たしているとする．また，平面上の動点$\mathrm{P}$に対し実数$f(\mathrm{P})$を
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第3問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$\displaystyle \beta \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BOC}=\alpha+\beta,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=2 |\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1 \]
であるとする．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積をそれぞれ$s,\ t,\ u$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$s,\ t,\ u$を，それぞれ$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$2s=2t=u$であるとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第2問$a,\ b,\ c$および$d$は実数で，$a>0$，$b<0$，$d \neq 0$とする．また
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．
(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．
\[ f(x)=ax+b,\quad g(x)=x^2+cx+d \]
とおく．$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$があり，点$\mathrm{O}$は原点を表す．点$\mathrm{P}_0(-4,\ 0,\ 4 \sqrt{3})$は定点で，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$はそれぞれ実数$t$の値に応じて定まる点$\mathrm{P}_1(-t,\ f(t),\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{P}_2(t,\ g(t),\ 0)$である．この$3$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が次の$3$条件をみたしているとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めなさい．
(i) $t=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1$の長さの最小値は$\sqrt{14}$である．
(iii) 点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$は，$t=1$および$t=-3$のとき，それぞれ同一平面上にある．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第5問$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする．自然数$k$に対して，平面上の点$\mathrm{P}_k$，$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすものとして定める．
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる．
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための，$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$，$\theta=-\theta^\prime$，$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする．$\mathrm{Q}_0$を中心とし，半径が$r$の円を$C$とする．$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部，$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという．このとき，$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ．
国立 千葉大学 2016年 第2問座標平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 11)$，$\mathrm{P}(m,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ n)$をとる．ただし，$m$と$n$は$1 \leqq m \leqq 5$，$1 \leqq n \leqq 11$を満たす整数とする．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数を求めよ．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことであり，内部には辺上の点は含まれない．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の内部に含まれる格子点の個数が三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数の半分になるような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数を求めよ．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数である点のことであり，内部には辺上の点は含まれない．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の内部に含まれる格子点の個数が三角形$\mathrm{OAB}$の内部に含まれる格子点の個数の半分になるような組$(m,\ n)$をすべて求めよ．