$xy$平面上に$2$直線
\[ \ell:y=-x+5,\quad m:y=3x-3 \]
が与えられている．曲線$C$は，$y=x^2$を平行移動した放物線であり，$\ell$と点$\mathrm{P}$で接し，$m$と点$\mathrm{Q}$で接しているとする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell,\ m$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3)(2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4)(3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．

平面上に4点O，A，B，Cがあり，点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし，
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．

座標平面上において，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y)$または点$(x,\ y+1)$への移動をN型移動といい，点$(x,\ y)$から点$(x+1,\ y+1)$への移動をS型移動という．$n$を3以上の整数とする．原点Oから出発し，$2n-2$回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点$(n,\ n)$に到達する径路の総数を$A(n)$とする．また，このような径路のうち，S型移動を$k$回目の移動として含む径路の総数を$B(n,\ k)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A(3)$を求めよ．
(2)$B(4,\ 1),\ B(4,\ 2)$をそれぞれ求めよ．
(3)$B(n,\ 1)$を$n$を用いて表せ．
(4)一般の$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n-1$に対して，$B(n,\ k)$を$n,\ k$を用いて表せ．
(5)$A(n)$を$n$を用いて表せ．

ただし，$p,\ q,\ r$を非負の整数とし，$p \leqq q \leqq r$とするとき，
\[ \sum_{i=0}^p \comb{p}{i} \cdot \comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q} \]
が成り立つことを用いてもよい．

$(1)$の問いに答えよ．また，$(2)$から$(6)$までの空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

(i) $\displaystyle \int_1^e x \log x \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int \sin^3 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$y=\sqrt[5]{2x-1}$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}=[　]$である．
(3)方程式$2^{x^2-1}4^{x+2}=8^{x+3}$の解は$x=[　]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[　]$である．
(5)2直線$y=3x$と$\displaystyle y=\frac{x}{3}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(6)座標平面上で次の連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
|x|+|y| \leqq 2 \\
x^2+y^2 \geqq 2
\end{array}
\right. \]
の表す領域の面積は[　]である．

座標平面上の曲線$y=e^x-1$を$C$とする．曲線$C$と2直線$y=0,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と2直線$y=2,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．ただし，$0<t<\log 3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1=S_2$となるときの$t$の値を求めよ．
(2)$S_1+S_2$が最小となるときの$t$の値を求めよ．

座標平面上の直線$y=x$を$\ell$とし，2点A$(1,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を考える．直線$\ell$上を動く点をP$(p,\ p)$とする．また，$\overline{\text{PQ}}$は点Pと点Qの間の距離を表すとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$上のすべての点Pに対して，$\overline{\text{PA}}=\overline{\text{PC}}$となるような$y$軸上の動かない点Cの座標を求めよ．
(2)$\overline{\text{PA}}+\overline{\text{PB}}$が最小となるような点Pの座標を求めよ．
(3)$a$は実数とする．直線$\ell$上のすべての点Pに対して，$a \cdot \overline{\text{PA}}^2+(1-a) \cdot \overline{\text{PB}}^2>0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が，はじめ原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げて表が出たときには$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$進み，裏が出たときには$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$進むとする．以下の問いに答えよ．

(1)コインを2回投げた結果，$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)コインを4回投げた結果，$\mathrm{P}$が$(2,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)コインを3回投げた後の2点$\mathrm{O},\ \mathrm{P}$間の距離$\mathrm{OP}$の期待値を求めよ．
(4)コインを7回投げた結果，距離$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．

関数$y=(x-2)e^x$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=(x-2)e^x$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{t}{e^t}=0$を用いてもよい．
(2)$C$と$x$軸の共有点と，$C$の変曲点を通る直線を$\ell$とおく．$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円とその \\
単位円周上の点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．$y$軸上の点 \\
$\mathrm{P}(0,\ t)$に対して$\mathrm{A}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線がこの単位円と \\
$\mathrm{A}$以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{OQ}$が$x$軸の正の方向 \\
となす角を$\theta$とする．以下の問に答えなさい． \\
ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．
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(1)$t$を$\theta$で表しなさい．
(2)$\cos \theta$と$\sin \theta$をそれぞれ$t$で表しなさい．
(3)$\cos \theta$と$\sin \theta$の少なくとも一方が無理数であれば，$t$も無理数であることを示しなさい．