$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式 \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を \[ \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] によって定める．以下の問いに答えよ．
(1) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2) $A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3) (2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4) (3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．