「平面」について
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国立 山口大学 2016年 第3問座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \]
で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2)$k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が
\[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \]
を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．
(i) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ii) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \]
で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2)$k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が
\[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \]
を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．
(i) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ii) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$
国立 島根大学 2016年 第4問$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$，$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし，曲線$C(\alpha)$と$y$軸，および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す．次の問いに答えよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第4問$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$，$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし，曲線$C(\alpha)$と$y$軸，および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す．次の問いに答えよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$である実数とする．座標平面において，直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし，曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$，$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$である実数とする．座標平面において，直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし，曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$，$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第5問座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第2問平面上に$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{OB}=7$となるような$\triangle \mathrm{OAB}$があり，$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるような実数$k$を求めよ．
(3)$(2)$の結果を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第4問座標平面上の曲線$y^2-2x-2=0$と直線$\displaystyle x+y=\frac{1}{2}$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面に$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$の内部および境界線上を動くとき，$3x+2y$の値がとりうる範囲を求めよ．
(1)座標平面に$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$の内部および境界線上を動くとき，$3x+2y$の値がとりうる範囲を求めよ．