「導関数」について
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(8ページ目:全552問中71問~80問を表示)![千葉工業大学](./img/univ/chibakougyou.png)
$x$の$2$次関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_n(x),\ \cdots$を条件
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める.さらに,数列$\{a_n\}$,$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり,数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす.
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり,$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと,$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ.
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である.
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする.不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち,最大の整数は$M=[タチ]$であり,$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める.さらに,数列$\{a_n\}$,$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり,数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす.
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり,$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと,$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ.
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である.
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする.不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち,最大の整数は$M=[タチ]$であり,$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
![玉川大学](./img/univ/tamagawa.png)
次の$[ ]$を埋めよ.
(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$.
(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で,$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である.
(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である.このとき,$A$,$B$,$C$は,
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である.
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は,$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である.
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき,
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である.
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は,$x=[ハ]$のとき,最大値$[ヒフ]$をとり,$x=[ヘ]$のとき,最小値$[ホ]$をとる.
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき,
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$
が成り立つ.
(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$.
(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で,$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である.
(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である.このとき,$A$,$B$,$C$は,
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である.
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は,$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である.
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき,
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である.
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は,$x=[ハ]$のとき,最大値$[ヒフ]$をとり,$x=[ヘ]$のとき,最小値$[ホ]$をとる.
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき,
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$
が成り立つ.
![玉川大学](./img/univ/tamagawa.png)
曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある.このとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ.
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき,その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする.曲線と直線の囲む部分の左側,右側の面積をそれぞれ$S$,$S^\prime$とするとき,
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ.
(3)点$\mathrm{A}$を通り,$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい.このとき,直線$\ell$を求めよ.ここで,$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき,$S=S^\prime$となることに注意せよ.
(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ.
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき,その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする.曲線と直線の囲む部分の左側,右側の面積をそれぞれ$S$,$S^\prime$とするとき,
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ.
(3)点$\mathrm{A}$を通り,$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい.このとき,直線$\ell$を求めよ.ここで,$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき,$S=S^\prime$となることに注意せよ.
![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり,$x=1$で極小値$0$をとる.
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$($a$は定数)と表せる.
(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$($b$は定数)と表せる.
(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から,$a=[カ]$,$b=[キ]$となる.よって,$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である.
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$,$[セ]$である.
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である.
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$($a$は定数)と表せる.
(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$($b$は定数)と表せる.
(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から,$a=[カ]$,$b=[キ]$となる.よって,$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である.
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$,$[セ]$である.
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である.
![近畿大学](./img/univ/kinki.png)
等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える.$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり,
$f(0)=1$のとき,$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である.
(2)$c<0$とし,$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする.このとき,$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり,$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる.
(3)座標平面において,関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき,$c=[ト]$である.このとき,$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である.
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える.$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり,
$f(0)=1$のとき,$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である.
(2)$c<0$とし,$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする.このとき,$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり,$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる.
(3)座標平面において,関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき,$c=[ト]$である.このとき,$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である.
![近畿大学](./img/univ/kinki.png)
等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える.$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり,
$f(0)=1$のとき,$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である.
(2)$c<0$とし,$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする.このとき,$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり,$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる.
(3)座標平面において,関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき,$c=[ト]$である.このとき,$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である.
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える.$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり,
$f(0)=1$のとき,$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である.
(2)$c<0$とし,$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする.このとき,$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり,$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる.
(3)座標平面において,関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき,$c=[ト]$である.このとき,$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である.
![近畿大学](./img/univ/kinki.png)
座標平面において,次の式で与えられる$2$つの円$C$,$C^\prime$を考える.
$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$
$2$つの円の$2$つの共通接線は,点$([アイ],\ [ウ])$で交わり,共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は,それぞれ
$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$
である.
(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である.
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(3)円$C$,$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$とする.$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し,$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である.
$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$
$2$つの円の$2$つの共通接線は,点$([アイ],\ [ウ])$で交わり,共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は,それぞれ
$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$
である.
(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である.
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である.
(3)円$C$,$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}^\prime$とする.$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し,$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である.
![愛知県立大学](./img/univ/aichikenritsu.png)
関数$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1} |t^2-2t| \, dt (x \geqq 0)$に対して,以下の問いに答えよ.
(1)$F(0)$を求めよ.
(2)$x>0$に対して,$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ.
(3)$F(x)$の最小値とそのときの$x$を求めよ.
(1)$F(0)$を求めよ.
(2)$x>0$に対して,$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ.
(3)$F(x)$の最小値とそのときの$x$を求めよ.
![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$,$\mathrm{F}^\prime$とする.ただし,$\mathrm{F}$の$x$座標は正である.正の実数$m$に対し,$2$直線$y=mx$,$y=-mx$を漸近線にもち,$2$点$\mathrm{F}$,$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする.第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ.
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ.
(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ.
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ.
![首都大学東京](./img/univ/shuto.png)
$n$を自然数とし,
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく.ただし,$\log x$は自然対数とする.以下の問いに答えなさい.
(1)$x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい.ただし,$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする.
(2)$x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい.
(3)$x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき,$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい.
(4)$(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい.ただし,$e$は自然対数の底とする.
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく.ただし,$\log x$は自然対数とする.以下の問いに答えなさい.
(1)$x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい.ただし,$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする.
(2)$x \geqq 2n$のとき,$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい.
(3)$x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき,$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい.
(4)$(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい.ただし,$e$は自然対数の底とする.