等式 \[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \] を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}c-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}} \right)$であり，
$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{\fbox{カキ}}{\fbox{ク}}$である．
(2) $c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は \[ \frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サ}} \] であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて \[ \frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} c^{\mkakko{セ}}+\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}c-\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツテ}} \] と表すことができる．
(3) 座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線 \[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \] が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=\fbox{ト}$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$\fbox{ナニ}$である．