「導関数」について
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国立 福島大学 2016年 第4問$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．
(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．
国立 徳島大学 2016年 第1問座標平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$を$C$とする．実数$t>1$に対して，点$(0,\ t)$を通り第$1$象限の点$(a,\ b)$で曲線$C$に接する直線を$\ell$とする．
(1)$x$軸，$y$軸と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，導関数$S_2^\prime(t)$の最大値を求めよ．
(1)$x$軸，$y$軸と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，$S_1(t)$の最小値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=b$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$t$が$t>1$の範囲を動くとき，導関数$S_2^\prime(t)$の最大値を求めよ．
国立 徳島大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，次のように$6$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{R}^\prime$を定める．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする．同様に，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$，外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．
国立 京都工芸繊維大学 2016年 第2問$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．
(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．
(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．
国立 和歌山大学 2016年 第5問複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(5)$，$\mathrm{B}(-10-5i)$，$\mathrm{C}(3+4i)$をとる．$\triangle \mathrm{OAB}$を，点$\mathrm{O}$が点$\mathrm{C}$に重なるように平行移動し，さらに点$\mathrm{C}$のまわりに$\theta$だけ回転した．このとき，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime(\alpha)$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime(\beta)$に移った．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とし，$\alpha,\ \beta$は複素数とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{A}^\prime$が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$について，次の各問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)$x \geqq 0$において$f^\prime(x) \geqq 0$および$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$f(x)$の定積分を利用して$\displaystyle \sin 1 \geqq \frac{5}{6}$を示せ．
(1)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)$x \geqq 0$において$f^\prime(x) \geqq 0$および$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$f(x)$の定積分を利用して$\displaystyle \sin 1 \geqq \frac{5}{6}$を示せ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第6問関数$f(x)=(\log x)^2-\log x (x>0)$を考える．次の各問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし関数$y=f(x)$の増減，凹凸，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし関数$y=f(x)$の増減，凹凸，極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．