「対数」について
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国立 鳥取大学 2016年 第3問実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第4問実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．
(2)$1<a<b$のとき，不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ．
(3)$x \geqq e$において，不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．
(2)$1<a<b$のとき，不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ．
(3)$x \geqq e$において，不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 小樽商科大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[ ]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である．
国立 大阪大学 2016年 第4問正の整数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき，$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする．
(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき，$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ．
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて，
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき，$b$の値を求めよ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき，$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする．
(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき，$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ．
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて，
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき，$b$の値を求めよ．
国立 高知大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_4 6,\ \log_8 9,\ \log_9 8$を小さい順にならべよ．
(2)関数$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}} (5-x)+\log_{\frac{1}{8}} (x-1)^3$の最小値を求めよ．
(1)$\log_4 6,\ \log_8 9,\ \log_9 8$を小さい順にならべよ．
(2)関数$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}} (5-x)+\log_{\frac{1}{8}} (x-1)^3$の最小値を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第2問$x \geqq 1$で定義された関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0$，$x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0$，$x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第4問$x \geqq 1$で定義された関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0$，$x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の値を$a$とする．曲線$y=f(x)$と$2$直線$y=0$，$x=a$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_4a^2-3=4 \log_a2$を満たす正の実数$a$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle {27}^{9x}=\frac{3}{9^{4y}}$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．
(1)$\log_4a^2-3=4 \log_a2$を満たす正の実数$a$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle {27}^{9x}=\frac{3}{9^{4y}}$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_4a^2-3=4 \log_a2$を満たす正の実数$a$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle {27}^{9x}=\frac{3}{9^{4y}}$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．
(1)$\log_4a^2-3=4 \log_a2$を満たす正の実数$a$をすべて求めよ．
(2)$\displaystyle {27}^{9x}=\frac{3}{9^{4y}}$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．