関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．

関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$，$y>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

(2)$a>0$，$b>0$，$c>0$で，$a \neq 1$，$c \neq 1$のとき，等式$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$を証明せよ．

(3)$p>1$，$q>1$のとき，不等式$\log_p q+\log_q p \geqq 2$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \sin \theta \cos \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$，$B=(\sin \theta)^4+(\cos \theta)^4$，$C=(\sin \theta)^8+(\cos \theta)^8$の値を求めよ．
(2)等比数列$\{a_n\}$の初項を$a_1=\alpha$，公比を$r$とする．自然数$n$に対して，$b_n=\log_3 a_n$とおく．数列$\{b_n\}$が初項$b_1=4$，公差$d=-2$の等差数列となるとき，$\alpha$と$r$の値を求めよ．また，$\displaystyle \beta=8 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の値を求めよ．ただし，$\alpha>0$，$r>0$とする．
(3)定積分$\displaystyle I=\int_{-2}^3 (3 \sqrt{x^4-6x^2+9}-4x) \, dx$の値を求めよ．

$\displaystyle \int_1^2 (\log x)^3 \, dx$を求めよ．

$a>0$とする．$x>0$で定義された関数$y=x^2+ax-3a^2 \log x$のグラフが$x$軸と共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．

$n,\ p,\ q (p \leqq q)$を自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．


(1)$\displaystyle \left( 1+\frac{1}{p} \right)^n \geqq 1+\frac{n}{p}$

(2)$\displaystyle \sum_{p=1}^q \log_{10} \left( 1+\frac{n}{p} \right) \leqq n \log_{10}(1+q)$

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ニ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-3x+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2,\ \beta^2$を解とする$2$次方程式の$1$つは$[サ]$である．
(2)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 7)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を通る円の方程式は$[シ]$である．また，この円と直線$y=x+k$が接するとき$k=[ス]$，$[セ]$である．
(3)関数$y=\cos 2x+2 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値，最小値と，そのときの$x$の値を求めると，$x=[ソ]$，$[タ]$のとき最大値$y=[チ]$をとり，$x=[ツ]$のとき最小値$y=[テ]$をとる．
(4)不等式$\log_2(x+5)+\log_2(x-2)<3$を満たす$x$の範囲は$[ト]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=2n^2-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ナ]$であり，$a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_na_{n+1}$を$n$の式で表すと$[ニ]$である．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．

(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．