$a,\ b$は正の実数で，$b<1$とする．
\[ c=a-b-ab,\quad I=\int_0^a \frac{x}{1+x} \, dx+\int_0^{-b} \frac{x}{1+x} \, dx-ab \]
とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)不等式$c>-1$が成り立つことを証明せよ．
(2)等式$I=c-\log (c+1)$が成り立つことを証明せよ．
(3)不等式$I \geqq 0$が成り立つことを証明せよ．また，$I=0$が成り立つための$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．

関数
\[ f(x)=\log_4 (x-1)+\log_{\frac{1}{2}} (x+1) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$f(3)$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$において，変数$x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)不等式$f(x) \leqq -2$を解け．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{(x+e)^2}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$\displaystyle \frac{e}{x(x+e)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+e}$が，$x$についての恒等式となるような定数$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(x+e)} \, dx$を求めよ．
(3)部分積分法を用いて，定積分$\displaystyle \int_1^{e^2} f(x) \, dx$を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$z=\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$，$\displaystyle w=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}$のとき，$z+w$の実部は$[ア]$で虚部は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=\cos 2x+\sin x+a$の最大値が$2$のとき，定数$a$の値は$[ウ]$で，$f(x)$の最小値は$[エ]$である．
(3)$4$つの数$\displaystyle \frac{3}{2},\ \log_2 3,\ \log_4 6,\ \log_4 7$のうち，一番小さい数は$[オ]$で，一番大きい数は$[カ]$である．
(4)関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2-15x$が$x=a$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$[キ]$で，$f(x)$の極大値は$[ク]$である．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．

次の問に答えよ．

(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき，整数$n=[ネノ]$である．ただし，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(2)$(1)$の$n$に対して，$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である．
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき，$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため，それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた．このとき，$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる．

次の各問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．

$x$の$2$次関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_n(x),\ \cdots$を条件

$f_1(x)=x^2-5x,$

$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

により定める．さらに，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ．
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である．
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする．不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち，最大の整数は$M=[タチ]$であり，$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}-6 \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1}+32 \leqq 0$を解くと$[　]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{24} \right)^{15}$は，小数第$[　]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}-6 \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1}+32 \leqq 0$を解くと$[　]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{24} \right)^{15}$は，小数第$[　]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．