$a,\ b,\ c$は正の整数である．以下の問に答えなさい．

(1)$ab=1800$となる$a,\ b$の組は全部で$[ア][イ]$通りある．
(2)$a<b<c<10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[ウ][エ]$通りある．
(3)$12a=4b+3c$，$b<100$，$c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[オ][カ][キ]$通りある．
(4)$a+b=3c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}$通りある．
(5)$a+\log_3(b+c)=10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofive{シ}{ス}{セ}{ソ}{タ}$通りある．ただし，$3^{10}=59049$である．

次の設問の$[　]$に適当な数を入れなさい．

ある種の電磁波は遮へい板を$1$枚通過するごとに電磁波の強さが$\displaystyle \frac{4}{5}$になる．この電磁波の強さを$\displaystyle \frac{1}{30}$以下にするためには，遮へい板が最低$[　]$枚必要となる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．

次の$[　]$に適する数を入れよ．

(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$，$([オ],\ [カ])$（ただし，$[ウ]<[オ]$）で交わり，両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，あるゲームで対戦している．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で，$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．引き分けは，ないものとする．

(i) $5$回目の対戦が終わったところで，$\mathrm{A}$が$3$勝，$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．

次の空欄$[オ]$に当てはまるものを解答群の中から選べ．それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

(1)$x \neq 7$とする．このとき，不等式
\[ -x^2-x+20>\frac{140}{7-x} \]
を満たす$x$の値の範囲は，
\[ -[ア]<x<[イ],\quad [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)$q$を正の実数とするとき，
\[ \lim_{s \to 1} \frac{q^s-q}{s-1}=[オ] \]
である．
$a,\ b,\ c$を実数とする．$x>0$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \left\{ n(x^{1+\frac{1}{n}}-x)-\frac{ax-2b+x^{n+1}-cx^n}{4+x^n} \right\} \]
と定義する．$f(x)$が$x=1$で連続であるとき，
\[ a-[カ]b+[キ]c=[ク] \]
となる．
オの解答群（ただし，$\log$は自然対数，$e$はその底とする）

\begin{tabular}{llllllllll}
$\nagamarurei 0$ & & $\nagamaruichi 1$ & & $\nagamaruni q$ & & $\nagamarusan q^{-1}$ & & $\nagamarushi e^q$ \\
$\nagamarugo e^{-q}$ & & $\nagamaruroku \log q$ & & $\nagamarushichi -\log q$ & & $\nagamaruhachi q \log q$ & & $\nagamarukyu -q \log q$
\end{tabular}

次の$[　]$に適切な数を入れよ．

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．

また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$m$を実数の定数とする．$x$についての$2$つの$2$次不等式

$x^2-4x+3<0 \qquad\hspace{2.65mm} \cdots\cdots \ ①$
$x^2-2mx-8m^2<0 \cdots\cdots \ ②$

を考える．$①$の解は
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
$①$を満たすすべての実数が$②$を満たすような$m$の値の範囲は
\[ m \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}, \frac{[カ]}{[キ]} \leqq m \]
である．
また，$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在しないような$m$の値の範囲は
\[ \frac{[クケ]}{[コ]} \leqq m \leqq \frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(2)$4$進法で表された$123_{(4)}$を$10$進法で表すと，$[スセ]$である．
整数$n$を$4$進法で表したとき，$3$桁になった．このとき，$n$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと
\[ [ソタ] \leqq n \leqq [チツ] \]
である．
$10$進法で表された$3^{20}$を$4$進法で表すと，その桁数は$[テト]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq 1$に対応する部分の長さを$L$とする．$L$の値を次のようにして求めよう．$L$は定積分
\[ L=\int_0^1 \sqrt{1+[ア]x^2} \, dx \]
で定まる．この定積分を計算するために$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{4}$として，置換積分を行う．このとき
\[ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t+e^{-t}}{4} \]
であり
\[ \sqrt{1+[ア]x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{[イ]} \]
である．

また，$\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}=1$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$x$が$0 \to 1$と変化するとき，$t$は$[ウ] \to \alpha$と変化するので，$L$を定める定積分は
\[ L=\frac{1}{[エ]} \int_{\mkakko{ウ}}^\alpha (e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}} \, dt \]
となる．ここで$X=e^\alpha$とおくと，$X$は$2$次方程式
\[ X^2-[カ]X-[キ]=0 \]
の解である．$X>0$なので
\[ X=[ク]+\sqrt{[ケ]} \]
である．これを用いて$\alpha$の値を定め，$L$の値を計算すると
\[ L=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \log \left( [ス]+\sqrt{[セ]} \right) \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．

食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある．これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える．食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として，この操作を$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

(1)$x_1$は$[アイ]$である．

(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．

関数$\displaystyle f(x)=\left( \log_4 \frac{x^2}{4} \right)^4-\log_2 \frac{x^4}{32} (1 \leqq x \leqq 16)$について，次の設問に答えよ．

(1)$\log_2 x$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$である．
(2)$f(x)$は
\[ f(x)=\left( \log_2 x+[ウエ] \right)^{\mkakko{オ}}+[カキ] \log_2 x+[ク] \]
と表すことができる．
(3)$f(x)$は

$x=[ケコ]$のとき，最大値$[サシ]$
$x=[ス]$のとき，最小値$[セソ]$

をとる．