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私立 星薬科大学 2016年 第4問次の問に答えよ．
(1)$3^{2x}=7$のとき，$\displaystyle \frac{3^{3x}+3^{-3x}}{{(3^x+3^{-x})}^3}=\frac{[$28$][$29$]}{[$30$][$31$]}$である．
(2)$\displaystyle 2 \log_3 441-9 \log_3 \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log_3 \frac{27}{343}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{-[$34$]+\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(1)$3^{2x}=7$のとき，$\displaystyle \frac{3^{3x}+3^{-3x}}{{(3^x+3^{-x})}^3}=\frac{[$28$][$29$]}{[$30$][$31$]}$である．
(2)$\displaystyle 2 \log_3 441-9 \log_3 \sqrt{7}-\frac{1}{6} \log_3 \frac{27}{343}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{-[$34$]+\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
私立 成城大学 2016年 第2問感染症の流行の初期では，時刻$t (t \geqq 0)$における感染者数$n_{\, t}$は指数関数$n_{\, t}=n_{\, 0} a^t$で表される．ここで，$n_{\, 0}$は時刻$t=0$における感染者数，$a$は正の定数である．ある感染症では，$n_{\, 0}=2$で，$t=2$のとき感染者数は$5$人であった．$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}5=0.699$として，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)感染者数が初めて$100$人を超える時刻$t$を求めよ．ただし，答えは整数で求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)感染者数が初めて$100$人を超える時刻$t$を求めよ．ただし，答えは整数で求めよ．
私立 学習院大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，和
\[ \sum_{k=2n}^{3n} (3k^2+5k-1) \]
を$n$の整式として表せ．ただし，答えは$n$について降べきの順に整理すること．
(2)${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ．ただし，整数は$10$進法で表すものとし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$n$を自然数とするとき，和
\[ \sum_{k=2n}^{3n} (3k^2+5k-1) \]
を$n$の整式として表せ．ただし，答えは$n$について降べきの順に整理すること．
(2)${12}^{40}$は何桁の数であるか答えよ．ただし，整数は$10$進法で表すものとし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
私立 東北医科薬科大学 2016年 第1問白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う．このとき，次の問に答えなさい．
(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
私立 東北学院大学 2016年 第1問次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である．
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる．
私立 東北学院大学 2016年 第2問不等式
\[ x^2+y^2-2x-2y+1 \leqq 0 \]
の表す領域を$A$とし，不等式
\[ \log_{10}(y-1)-2 \log_{10}|x-1| \geqq 0 \]
で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$を図示せよ．
(2)$B$を図示せよ．
(3)点$(x,\ y)$が$A$と$B$の共通部分$A \cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2-2x-2y+1 \leqq 0 \]
の表す領域を$A$とし，不等式
\[ \log_{10}(y-1)-2 \log_{10}|x-1| \geqq 0 \]
で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$を図示せよ．
(2)$B$を図示せよ．
(3)点$(x,\ y)$が$A$と$B$の共通部分$A \cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．
私立 愛知工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
私立 西南学院大学 2016年 第2問$x$の方程式$4^x+2^{x+1}-k=0$が，
$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり，
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である．
$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり，
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である．
私立 北里大学 2016年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．
私立 東京都市大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し，複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(\alpha\beta)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき，$|\beta|$を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$，$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ．さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$i$を虚数単位とする．複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し，複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(\alpha\beta)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき，$|\beta|$を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$，$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$，$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ．さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．