$0 \leqq x \leqq 2$とする．

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．

$a$を正の実数とし，曲線$y=x^3$を$C_1$，曲線$\displaystyle y=\frac{9}{8}ax^2$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の共通接線で$C_1$と$2$点を共有するものを$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$\ell$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標$p$を求めよ．さらに$\displaystyle I=\int_0^p \left( \frac{9}{8}ax^2-x^3 \right) \, dx$とするとき，比$S:I$を最も簡単な整数比で表せ．

平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$を考える．$m,\ n$は正の実数とする．

(1)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2$を${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2$と内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．さらに
\[ \frac{mn}{m+n} {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+(m+n) {|\overrightarrow{\mathrm{OM|}}}^2=n {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+m {|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2 \]
を示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_1$，辺$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_2$，辺$\mathrm{CA}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{M}_3$とする．このとき${|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2$は
\[ \frac{mn}{{(m+n)}^2} \left( {|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2 \right)+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
に等しいことを示せ．
(3)$(2)$の$m,\ n$を変化させたとき
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}}^2+{|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_1}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_2}}}^2-{|\overrightarrow{\mathrm{OM|_3}}}^2 \]
の最大値を${|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}}^2$，${|\overrightarrow{\mathrm{CA|}}}^2$で表せ．

$0 \leqq x \leqq 2$とする．

(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．

以下の$a,\ b,\ c$はいずれも正の実数とする．

(1)「$ab$が有理数ならば，${(a+b)}^2$は有理数である」という主張が正しければ証明し，誤りならば反例を与えよ．
(2)$ab,\ ac,\ bc$が有理数ならば，$a^2$は有理数であることを示し，さらに${(a+b+c)}^2$は有理数であることを示せ．
(3)$ab,\ ac,\ bc$が有理数で，さらに${(a+b+c)}^3$が有理数となるならば，$a,\ b,\ c$はそれぞれ有理数であることを示せ．

平面上で原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1)$を考える．実数$s,\ t$に対し，点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$が条件
\[ -1 \leqq s \leqq 1,\quad -1 \leqq t \leqq 1,\quad -1 \leqq s+t \leqq 1 \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の存在する範囲$D$を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$(1)$で求めた範囲$D$を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値を求め，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．以下の問に答えよ．

(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ．
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ．

$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．以下の問に答えよ．

(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ．
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ．

次の条件（ア），（イ）を満たす複素数$z$を考える．

（ア） $\displaystyle z+\frac{i}{z}$は実数である
（イ） $z$の虚部は正である

ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$r=|z|$とおくとき，$z$を$r$を用いて表せ．
(2)$z$の虚部が最大となるときの$z$を求めよ．