次の問いに答えよ．

(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．

(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数


$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$


を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して，$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき，以下の各問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．

$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}$について，定義域が$-5 \leqq x \leqq 0$のときの最大値と最小値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．


(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$

定義域を$-2 \leqq x \leqq 3$とする放物線$y=ax^2+2ax+b$がある．ただし，その形は下に凸であるとする．以下の問に答えよ．

(1)この関数の最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた放物線を原点に関して対称移動したあとの放物線の式を求めよ．

$x$の$2$次関数$y=x^2-4kx-k^2+12k-2$について考える．

(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]k$である．また，この関数の最小値は$-[ウ][エ]k^2+12k-2$である．
(2)この関数の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とし，$k=-1$とすると，この関数の値域は$-[オ][カ] \leqq y \leqq [キ][ク]$である．
(3)この関数の定義域を$x \leqq 2$とすると，この関数の最小値は$k=[ケ][コ]$のときに最大となる．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=2x^3+3x^2-12x-20$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の定義域を求めよ．
(3)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の最大値を求めよ．

$0<\theta _n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{\theta_n\}$を用いて，閉区間$[0,\ 1]$から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，$a<b$とするとき，開区間$(a,\ b)$の長さは閉区間$[a,\ b]$の長さと等しく$b-a$である．

$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．

\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．

このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．