「定数」について
タグ「定数」の検索結果
(5ページ目:全1257問中41問~50問を表示)![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![徳島大学](./img/univ/tokushima.png)
整式$P(x)$が条件「$x$が整数ならば,$P(x)$の値は整数となる」を満たすとき,$P(x)$を整数値整式という.また,$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし,$f_1(x)=x$,$\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{2}x(x-1)$,$\displaystyle f_3(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$とする.
(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は,次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ.
\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる.
(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は,次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ.
\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる.
(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は,次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ.
\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる.
(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は,次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ.
\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる.
![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
実数の定数$a$に対し,二つの関数$f(x)=x^2-4ax+1$および$g(x)=|x|-a$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$a=1$のとき,$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け.
(2)$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ.
(3)$f(x)>0$または$g(x)>0$が,$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ.
(1)$a=1$のとき,$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを描け.
(2)$f(x)>0$が$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ.
(3)$f(x)>0$または$g(x)>0$が,$-4<x<4$をみたすすべての$x$に対して成り立つような$a$の範囲を求めよ.
![高知大学](./img/univ/kouchi.png)
実数の定数$k$に対して,$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1)すべての$x$に対して,$f(x) \leqq 18$であることを示せ.
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ.
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ.
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ.
(1)すべての$x$に対して,$f(x) \leqq 18$であることを示せ.
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ.
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ.
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ.
![弘前大学](./img/univ/hirosaki.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ.
(2)$k$を定数とするとき,方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ.
(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ.
(2)$k$を定数とするとき,方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ.
![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
以下では$n$は$0$以上の整数とする.関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
![お茶の水女子大学](./img/univ/ocha.png)
以下では$n$は$0$以上の整数とする.関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め,$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく.
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ.
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ.
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して,$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく.定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき,
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ.
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
![佐賀大学](./img/univ/saga.png)
複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき,
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ.
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき,
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ.
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.